Условие применимости метода квадратного корня.

Метод квадратного корня является одним из прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Однако этот метод не такой универсальный, как метод Гаусса: для применения данного метода матрица системы линейных уравнений должна быть невырожденной (det(А)¹0) и симметрической: А=А^t (А^t- транспонированная к А матрица).

(Матрица А является симметрической, если ее элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. a_ij=a_ji. при всех i,j. Матрица В является транспонированной к матрице А, если ее столбцы совпадают с соответствующими строками А).

Метод квадратного корня сокращает вычисления примерно в 2 раза за счет симметрии.

При выполнении условий невырожденности и симметричности матрицы системы метод квадратного корня уже можно применять, но в процессе вычислений по формулам метода при этом могут возникать комплексные числа. Решение задачи, правда, будет вещественное. Для того, чтобы избежать работы с комплексными числами, мы потребуем от матрицы А выполнения еще одного дополнительного условия: положительной определенности, т.е. все главные миноры А должны быть положительны. (Напомним, что главным минором порядка К квадратной матрицы А называется минор, состоящий из элементов, находящихся на пересечении первых К строк и первых К столбцов матрицы А).

Дата добавления: 2015-08-27