Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Матричное описание метода квадратного корня.

Метод Пикара. | Методы Рунге-Кутта | Постановка задачи и ее качественный анализ. | Нахождение наилучшей линейной приближающей функции. | Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. | Постановка задачи и ее качественное исследование. | Ручные вычисления по методу Гаусса. | Регуляризация решения | Описание метода Гаусса для вырожденных систем. | Определение совместности системы. |


Читайте также:
  1. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.
  2. Анис обыкновенный: описание
  3. Анкетирование. Сущность метода, особенности проведения, недостатки.
  4. Анкетирование. Сущность метода, особенности проведения, недостатки.
  5. Безмятежность духа - необходимое условие освоения метода
  6. Вероятностных методах отбора респондентов
  7. Виртуальные метода и полиморфизм.

Основанием для этого метода служит следующая ТЕОРЕМА:

Пусть данная система АХ=В удовлетворяет условию применимости метода квадратного корня. Тогда существует такая верхнетреугольная матрица S, что: StS=A (8.1)

В этом случае исходную систему можно записать в виде (StS)X=B или St(SX)=B. Если обозначить SX=Y, то весь процесс нахождения решения Х можно разбить на три этапа:

1. Найти матрицу S: StS=A;

2. Найти Y: StY=B;

3. Найти X: SX=Y.

Наиболее трудоемким здесь является первый этап, поскольку на втором и третьем этапе надо лишь решать системы линейных уравнений с нижнетреугольной и верхнетреугольной матрицами соответственно.

Нахождение матрицы S («квадратного корня» из А)

Покажем процесс нахождения коэффициентов матрицы S в случае матрицы А размерами 4х4, а потом уже выпишем общие формулы.

Обозначим элементы матрицы S:

 

Тогда должно быть выполнено соотношение A=StS, или

 

По правилам умножения матриц получаем систему:

s11*s11 = a11

s11*s12 = a12

s11*s13 = a13

s11*s14 = a14

s12*s12 + s22*s22 = a22

s12*s13 + s22*s23 = a23

s12*s14 + s22*s24 = a24

s13*s13 + s23*s23 + s33*s33 = a33

s13*s14 + s23*s24 + s33*s34 = a34

s14*s14 + s24*s24 + s34*s34 + s44*s44 = a44

из 10 уравнений. На первый взгляд, мы сильно усложнили задачу – вместо линейной системы из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными мы должны решать систему из 10 нелинейных уравнений с 10 неизвестными. Однако, и в случае 4х4, и в случае N неизвестных наша система решается очень просто: мы по очереди находим все элементы матрицы S. Из 1-го уравнения найдем s11, потом из 2-го уравнения- s12 и т.д. Таким образом мы построчно определим все элементы искомой матрицы.

ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ S имеют вид:

, где i=1,2...n

, где j=i+1,...,n

 


Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Условие применимости метода квадратного корня.| Пример.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)