Читайте также:
|
|
При решении систем методом Гаусса желательно предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений. Необходимость в этом возникает в том случае, когда разрешающий элемент шага равен нулю и мы не можем из данного уравнения выразить эту переменную, чтобы подставить ее в последующие уравнения системы. Тогда в качестве разрешающего элемента берется максимальный по модулю элемент данного столбца, расположенный в нашей матрице ниже, а затем два уравнения меняют местами.
Задача 7.4. Докажите, что в невырожденных системах не может встретиться случай, когда и разрешающий элемент, и все элементы столбца ниже него на каком-то шаге окажутся равными нулю одновременно.
Более того, плох также случай, когда разрешающий элемент близок к нулю, поскольку при вычислениях нам приходится делить на него. В связи с конечной разрядностью вычислений, особенно при машинной реализации, чем меньше по модулю разрешающий элемент, тем больше на этом шаге погрешности округления при вычислениях. Пример полезности данного правила легко видеть при решении без перестановки уравнений и с таковой указанной ниже системы. При этом, для уменьшения громоздкости примера мы считаем, что все вычисления производятся с точностью до 5 значащих цифр.
___________________________________________
| 1.2357 | 2.1742 | -5.4834 | -2.0735
0 | 6.0696 | -6.2163 | -4.6921 | -4.8388
| 3.4873 | 6.1365 | -4.7483 | 4.8755
___|_________|_________|_________|__________
1 | 4.919 | -16.895 | 22.242 | 5.3462
| 2.8221 | 0.0007 | 10.727 | 10.727
___ |__ ______|_________|_________|__________
2 | | 0.41E-04 | 10.728 | 10.727
___ |_________|_________|_________|__________
| x3 = 0.99991
| x2 = 0.99994
| x1 = 0.99968
___ |_______________________________________
Правильный ответ: х1=1, х2=1, х3=1
Теперь поменяем местами 2-е и 3-е уравнения:
__________________________________________
| 1.2357 | 2.1742 | -5.4834 | -2.0735
0 | 3.4873 | 6.1365 | -4.7483 | 4.8755
| 6.0696 | -6.2163 | -4.6921 | -4.8388
___|_________|__________|_________|__________
1 | 2.8221 | 0.0007 | 10.727 | 10.727
| 4.919 | -16.895 | 22.242 | 5.3462
___|_________|_________|_________|__________
2 | | 24136 | 258930 | 258910
___|_________|_________|_________|___________
| x3 = 0.99992
| x2 = 1.4286
| x1 = 2.9021
___|________________________________________
Во втором случае полученные ответы значительно хуже, т.к. разрешающий элемент 0.0007 - очень маленькое число. Тем самым, для более качественного решения систем методом Гаусса надо предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений.
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 45 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Ручные вычисления по методу Гаусса. | | | Описание метода Гаусса для вырожденных систем. |