Читайте также: |
|
Рассмотрим отображение n-мерного евклидова пространства в себя, заданное формулой: Y=AX+B, где А- матрица размерности nхn, X,B,Y ÎRn. Главный вопрос применимости метода заключается в следующем: в каком случае это отображение будет сжимающим, т.е. существует некоторое число q, 0< q <1, такое что при всех х1 и х2 справедливо:
Что надо потребовать от матрицы А, чтобы выполнялось это условие?
Приведем несколько достаточных условий. Для этого вспомним, что основными нормами в пространстве Rn являются
1. , где x=(x1,x2,...,xn)
2.
3. , где i =1,2,...n
Рассмотрим в исходном пространстве векторов норму и оценим норму оператора преобразования Y=AX+B через элементы матрицы А.
Оценивать норму мы будем в два этапа: 1. Сначала оценим i -ую компоненту вектора y1-y2.
2. Затем оценим норму всего вектора y1-y2.
Возьмем i-ую компоненту вектора y1-y2 и оценим сверху эту разность по модулю.
Далее уже легко оценить и норму разности векторов y1-y2:
, где максимум берется при всех i =1,2,…,n
Следствие. Если =мах <1, (i=1,2,…,n), то отображение Y=AX+B сжимающее.
Задача. Доказать, что для двух других норм в исходном пространстве получим:
, и , где максимум берется при всех j=1,2,…,n.
Если при этом хотя бы одно из этих чисел меньше 1, то отображение сжимающее.
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 58 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Компакт-метод. | | | Описание метода простых итераций. |