Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .

Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков называется шагом разбиения, где — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , то есть .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называют предел, к которому стремится интегральная сумма.

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.

Свойства:

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

19. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.

Пусть некоторая функция f(x) непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :

В предположение о непрерывности производной на [a,b], длина кривой AB выражается формулой:

или компактнее:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где t ∈ [a,b]. В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах ρ=ρ(φ) где φ ∈ [α,β]. Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0≤a≤b) и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

д)вычисление объема тела по площадям поперечных сечений

Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S (x). Требуется определить объём этого тела.

Рассечём это тело плоскостями x = x ₀ = a, x = x ₁, x = x ₂, …, x = x_i -1, x = x_i, …, x = x _n -1, x = x_n = b на n слоёв (a = x ₀< x ₁ < < x ₂< …< x_n -1 < x_n = b), на каждом из отрезков [ x_i -1, x_i ] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = x_i -1 и x = x_i приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому .

Дата добавления: 2015-08-20