Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

Полным приращением функции называется такое приращение, при котором одновременно изменяются все ее переменные.

∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные f_x’(x,y) и f_y’(x,y). Зафиксируем пару значений x и y и дадим им приращения ∆x и ∆y.

Тогда функция получит приращение, ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y), которое называется полным приращением. Запишем ∆z следующим образом: ∆z=(f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y+∆y))+(f(x,y+∆y)-f(x,y)) (3).

Каждое из выражений в скобках представляет собой частное приращение функции z. Применим к этим выражениям формулу Лагранжа:

,

Где а . Если и то . Значит, в силу непрерывности частных производных, при . Таким образом, , где и бесконечно малые величины. Отсюда: (4).

Обозначим Тогда , где . Так как , , поэтому . Значит, при и , также стремиться к нулю. Соотношения равносильны соотношению . Окончательно,

(5)

причем . Формула (5) называется формулой полного приращения функции. Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно ∆x и ∆y и представляет собой главную часть приращения, отличаясь от ∆z на бесконечно малую высшего порядка относительно ∆p. Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.

.

Приращения независимых переменных ∆x и ∆y равны дифференциалам независимых переменных, т.е. dx=∆x и dy=∆y. Тогда . Равенство (5) можно переписать в виде: ,и, с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно ∆p можно записать приближенное равенство: , причем точность этого равенства тем выше, чем меньше приращения аргументов.

Дата добавления: 2015-08-20