Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Говорят, что функция z=f(x,y) имеет максимум в точке M₀(x₀,y₀), т.е. при x=x₀, y=y₀, если f(x₀,y₀)>f(x,y) для всех точек (x,y), достаточно близких к точке (x₀,y₀) и отличных от неё.
Говорят, что функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M₀(x₀,y₀), т.е. при x=x₀, y=y₀, если f(x₀,y₀)<f(x,y) для всех точек (x,y), достаточно близких к точке (x₀,y₀) и отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x₀, y=y₀, то каждая частная производная первого порядка от Z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку M₀(x₀,y₀) функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка M₀(x₀,y₀) является критической точкой функции f(x,y), т.е.
,
тогда при x=x₀, y=y₀:
1) f(x,y) имеет максимум, если дискриминант ∆=AC-B²>0 и A<0, где ;
2) f(x,y) имеет минимум, если дискриминант ∆=AC-B²>0 и А>0;
3) f(x,y) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ∆=AC-B²<0;
4) если ∆=0, то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить четыре шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции z=f(x,y) в замкнутой области D.

1. Найти критические точки функции z = f (x, y), принадлежащие области D.

Под критическими точками подразумевают такие точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю (т.е. ∂z/∂x=0 и ∂z/∂y=0) или хотя бы одна частная производная не существует.

Часто точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, именуют стационарными точками. Таким образом, стационарные точки – есть подмножество критических точек.

2. Исследовать поведение функции z = f (x, y) на границе области D, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений.

3. Найти значения функции z = f (x, y) во всех точках, полученных в предыдущих двух пунктах.

4. Из значений, полученных в третьем пункте, выбрать наибольшее и наименьшее.

Условным экстремумом функции z = f (x, y) в точке M 0(x 0; y 0) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи φ (x, y)=0.

Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует y = ψ (x), то подставив y = ψ (x) в z = f (x, y), получим функцию одной переменной z = f (x, ψ (x)).

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F (x, y)= f (x, y)+ λφ (x, y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак d 2 F = F ′′ xxdx 2+2 F ′′ xydxdy + F ′′ yydy 2. Если в стационарной точке d 2 F >0, то функция z = f (x, y) имеет в данной точке условный минимум, если же d 2 F <0, то условный максимум.

Дата добавления: 2015-08-20