Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида ∫cos ^mx sin ⁿxdx находят в зависимости от четности степеней m и n следующим образом:

а) если m или n нечетное, то используют замену переменной:

t=sinx, при нечетном m;

t =cos x, при нечетном n,

и формулу sin²x+cos²x=1;

б) если m и n четные, то используют формулы понижения степени:

sin²x=(1−cos2x)/2, cos²x=(1+cos2x)/2, sinxcosx=(sin2x)/2;

в) Если m + n =−2 k, k ∈ N т. е. m + n является целым четным отрицательным числом, то удобно использовать подстановки

tgx = t и ctgx = t.

2. Интегралы вида ∫sin ^mx cos ⁿxdx, ∫cos ^mx cos ⁿxdx, ∫sin ^mx sin ⁿxdx вычисляют с помощью преобразований подынтегральной функции по следующим формулам:

sin ^mx cos ⁿx =(1/2)(sin(m − n) x +sin(m + n) x),

sin ^mx sin ⁿx =(1/2)(cos(m − n) x −cos(m + n) x),

cos ^mx cos ⁿx =(1/2)(cos(m − n) x +cos(m + n) x).

3. Интегралы вида ∫ tg^mxdx и ∫ ctg^mxdx находят, используя формулы

tg ² x =(1/cos² x) −1, ctg ² x =(1/sin² x) −1.

4. Интегралы вида, R (sin x,cos x) dx где R (u, v)− рациональная функция двух переменных, приводят к интегралам от рациональных функций нового аргумента t подстановкой t = tg(x/ 2). При этом используются формулы

dx =2 dt/( 1+ t ²), sin x =2 t/( 1+ t ²), cos x =(1− t ²)/(1+ t ²).

Если под интегралом sinx и cosx содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tgx = t.

5. Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причем используются следующие формулы:

ch ² x − sh ² x =1, shxchx =(1/2) sh 2 x,

ch ² x =(1/2)(ch 2 x +1), sh ² x =(1/2)(ch 2 x −1),

1− th ²=1/(ch ² x), cth ² x −1=1/(sh ² x).

Если thx 2= t, то

shx =2 t/( 1− t ²); cht =(1+ t ²)/(1− t ²); dx =2 dt/( 1− t ²).

Дата добавления: 2015-08-20