Вихревые линии

Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:

Физическое содержание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего пред­ставьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вих­ревые линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора W, а плотность их в любой области пропорциональна величине W. Из уравнения (II) дивергенция W всегда равна нулю [вспомните гл.3,§ 7 (вып. 5): дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля В: они нигде не кончаются и нигде не начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, на­пример окрасив их чернилами, то в процессе движения жидко­сти и переноса этих частичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду v, вы можете вычислить W. Зная v, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью v. А с новым значением W можно воспользоваться уравнениями (I) и (II) и найти новую величину v. (Точно как в задаче о нахождении поля В по дан­ным токам.) Если нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все после­дующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.

Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере ча­стично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, формулу (III). Фактически это просто за­кон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий цилиндр, ось которого параллельна вихревым ли­ниям (фиг. 40.13,а).

Фиг. 40.13. Группа вихревых линий в момент t (а) и те же самые линии в более поздний момент t' (б).

Спустя некоторое время, тот же самый объем жидкости бу­дет находиться где-то в другом месте. Вообще го­воря, он будет иметь фор­му цилиндра с другим диа­метром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тоже должна измениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально умень­шению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение W на площадь цилиндра А будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем

Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без танген­циальных сил величина момента количества движения жидкости внутри измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции I на угловую скорость жидкости, которая пропорциональна завихренности W. Момент же инерции цилиндра пропорционален mr². Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключили, что

Но масса будет одной и той же (М₁=М₂), а площадь пропор­циональна R², так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (III), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости момент количества движения элемента жидкости изме­ниться не может.

Есть хороший способ продемонстрировать движущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фиг. 40.14.

Фиг. 40.14. Распространяющиеся вихревые кольца.

Это «барабан» диаметром и длиной около 60 см, состоящий из цилиндрической коробки с натянутым на ее открытое основа­ние толстым резиновым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см. Если резко ударить по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает кольцевой вихрь. Хотя этот вихрь уви­деть нельзя, можно смело утверждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоящей в 3—6 м от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной скоростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предварительно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма».

Кольца дыма (фиг. 40.15,а) — это просто баранка из вих­ревых линий.

Фиг. 40.15. Движущееся вих­ревое кольцо (я) и его попереч­ное сечение (б).

Поскольку W=ÑXv, то эти вихревые линия описывают также циркуляцию v (фиг. 40.15,б). Для того чтобы объяснить, почему кольцо движется вперед (т. е. в направ­лении, составляющем с направлением W правый винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличивается к внут­ренней поверхности кольца, причем скорость внутри кольца направлена вперед. Поскольку линии W переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью v. (Конечно, большая скорость на внутренней части кольца ответственна за движение вперед вихревых линий на его внешней части.)

Здесь необходимо ука­зать на одну серьезную трудность. Как мы уже от­мечали, уравнение (40.90) говорит, что если перво­начально завихренность W была равна нулю, то она всегда останется равной нулю. Этот результат — крушение теории «сухой» воды, ибо он означает, что если в какой-то момент значение W равно нулю, то оно всегда будет равно нулю, и ни при каких обстоятельствах создать завихренность нельзя. Однако в на­шем простом опыте с барабаном мы могли породить вихревые кольца в воздухе, который до того находился в покое. (Ясно, что пока мы не ударили по барабану, внутри него v = 0 и W =0.) Все знают, что, загребая веслом, можно соз­дать в воде вихри. Несомненно, для полного понимания поведе­ния жидкости следует перейти к теории «мокрой» воды.

Другим неверным утверждением в теории «сухой» воды является предположение, которое мы делали при рассмотре­нии потока на границе между ним и поверхностью твердого предмета. Когда мы обсуждали обтекание потоком цилиндра (например, фиг. 40.11), то считали, что жидкость скользит по поверхности твердого тела. В нашей теории скорость на поверх­ности твердого тела могла иметь любое значение, зависящее от того, как началось движение, и мы не учитывали никакого «трения» между жидкостью и твердым телом. Однако то, что скорость реальной жидкости должна на поверхности твердого тела сходить на нуль,— экспериментальный факт. Следова­тельно, наши решения для цилиндра и с циркуляцией, и без нее неправильны, как и результат о создании вихря. О более правильных теориях я расскажу вам в следующей главе.

Дата добавления: 2015-08-20