Тензор деформации

В предыдущей главе мы говорили о возму­щениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформа­ции в большом куске желе, скрученном и сжа­том каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сде­лать, задав в ней набор шести чисел — компо­нент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.

Предположим, что мы взяли недеформиро­ванный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятныш­ка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение г=(x, у, z), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение r'= (х', у', z'), как это показано на фиг. 39.1.

Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформированного кубика после деформации пере­мещается в точку Р'.

Мы будем обозначать через и вектор перемещения из точки Р в точ­ку Р', т. е.

u = r'-r. (39.1)

Перемещение и зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так, что и есть векторная функция от г или от (х, у, z).

Сначала рассмотрим простейший случай, ког­да деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из како­го-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направле­нии, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2).

Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения.

Перемещение u_x пятнышка с координатой х пропорционально самому х.

Действительно,

Мы будем записывать u_x следующим образом:

и_x=е_ххх.

Разумеется, константа пропорциональности е_хх— это то же, что наше старое отношение Dl/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)

Если же деформация неоднородна, то связь между х и u_x в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим е_хх как своего рода локальную величину Dl/l, т. е.

Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами

Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдви­гов. Вообразите, что в перво­начально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3).

Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.

При такой дефор­мации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:

а перемещение в направлении у пропорционально х:

u_y=(q/2)x. (39.5)

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

u_x=e _xy y u _у=e_yxx,

где

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обоб­щенную деформацию сдвига можно описать, определив вели­чины е_xy и е_yx следующим образом:

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что пере­мещения u_х и u_y имеют вид

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при u_y стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол q/2 (фиг. 39.4).

Фиг. 39.4.Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное поло­жение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше опре­деление деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если дu_y/дх и дu_x/ду равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, е_ху=е_уx.

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, е_ху всегда равно е_ух), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тен­зоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — век­торы, то С_ij=А_iВ_j — тензор.) А каждое наше e_ij есть про­изведение (или сумма таких произведений) компонент вектора

u= (u_х, u_у, u_z) и оператора Ñ=(д / д x, д / д y, д / д z), который, как

мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x₁, x₂ и x₃, а вместо u_х, u_y и u_г писать u₁, u₂ и u ₃; тогда общий вид элемента тензора e_ij будет выглядеть так:

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e_ij — постоянные, и мы можем написать

u_х=е_ххх+е_хуy+е_хzг. (39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации e_ij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z) и вектором перемещения u= (u_х, u_у, u_г).

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

где w_ij, — антисимметричный тензор

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симмет­ричным тензором е_ij.

Дата добавления: 2015-08-20