Вязкость

В предыдущей главе мы говорили о поведе­нии воды, пренебрегая при этом эффектами вязкости. Теперь же мне хотелось бы обсудить, как вязкость влияет на течение жидкости. Рас­смотрим реальное поведение жидкости. Я опишу качественно, как ведет себя жидкость в самых разных условиях, так чтобы вы получше прочувствовали эту науку. И хотя вы увидите сложные уравнения и услышите о трудных вещах, наша цель совсем не в том, чтобы изучить все тонкости. Цель этой главы скорее «общеобразовательная», просто я хочу дать вам некоторое понятие о том, как устроен мир. Однако здесь все же есть один пункт, который стоит того, чтобы его выучить: полезно знать простое определение вязкости. С него мы и начнем. Все же остальное предназначено для вашего удовольствия.

В предыдущей главе мы нашли, что законы движения жидкости содержатся в уравнении

В нашем приближении «сухой» воды мы отбра­сывали последнее слагаемое, так что всеми эффектами вязкости мы пренебрегали. Кроме того, мы иногда делали еще дополнительное приближение, считая жидкость несжимаемой, и при этом получали дополнительное урав­нение;

Ñ•v=0.

Это приближение часто оказывается вполне приличным, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука. Но в реальных жидкостях мы почти никогда не можем пренебречь внутрен­ним трением, называемым нами вязкостью; большинство интересных вещей в поведении жидкости так или иначе свя­зано именно с этим свойством. Так, мы узнали, что циркуля­ция «сухой» воды никогда не изменяется: если ее не было вначале, то она никогда и не появится. Но в то же время мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Так что нашу теорию надо подправить.

Начнем с важного экспериментального факта. Когда мы занимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то пред­мет или текущей мимо него, т. е. так называемым «потенциаль­ным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляющую скорости, тангенциальную к поверхности пред­мета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание возможность возникнове­ния сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот ока­зывается, хотя это далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Вы заме­чали, конечно, что лопасти вентилятора собирают на себя тонкий слой пыли, и это несмотря на то, что они вращаются в воздухе. Тот же эффект можно наблюдать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воз­духом? Несмотря на то что лопасти вентилятора быстро вра­щаются в воздухе, скорость воздуха относительно них, измерен­ная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласо­валась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую скорость (относительно поверхности).

Сначала мы характеризовали жидкость так, что если при­ложить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжений сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вязкость как раз и описывает эти силы, возникающие в движущейся жидкости. Чтобы измерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой экспе­римент. Предположим, что имеются две плоские твердые пла­стины, между которыми находится вода (фиг. 41.1), причем одна из пластин неподвижна, тогда как другая движется парал­лельно ей с малой скоростью v₀.

Фиг. 41.1. Увлечение жидкости между двумя параллельными пластинками.

Если вы будете измерять силу, требуемую для поддержания движения верхней пластины, то найдете, что она пропорциональна площади пластины и отно­шению v₀/d, где d — расстояние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига F/A пропорционально v₀/d:

Коэффициент пропорциональности h называется коэффициен­том вязкости.

Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2).

Фиг. 41.2. Напряжения сдви­га в вязкой жидкости.

Силы в этом объеме определяются выражением

Далее, дv_x/дy представляет скорость изменения деформаций сдвига, определенных нами в гл. 38, так что силы в жидкости пропорциональны скорости изменения деформаций сдвига.

В общем случае мы пишем

При равномерном вра­щении жидкости производ­ная дu_х/ду равна дv_y/дx с обратным знаком, a S_xy будет равна нулю, как это и требуется, ибо в равно­мерно вращающейся жидкости напряжения отсутствуют. (Подобную же вещь мы проде­лывали в гл. 39 при определении е_xy.) Разумеется, для S_yz и S _гх тоже есть соответствующие выражения.

В качестве примера применения этих идей рассмотрим дви­жение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его скорость будет v_а, а радиус внешнего цилиндра пусть будет b, а скорость равна v _b (фиг. 41.3).

Фиг. 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.

Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на рас­стоянии rот оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от r; v=v(r). Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии rот оси, то ее координаты как функции времени будут

x = rcoswt, у=r sinwt,

где w= v/r. При этом х- и y-компоненты скорости равны

v_x=- rwsinwt =-w у и v_y = rwcoswt=w х. (41.4)

Из формулы (41.3) получаем

Для точек с у= 0 имеем д w /ду =0, а х(д w /дх) будет равно r (d w )/dr). Так что в этих точках

(Разумно думать, что величина S должна зависеть от дw/дr, когда w не изменяется с r, жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряжения в ней не возникают.) Вычисленное нами напряжение представляет собой танген­циальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить момент сил, действующий на цилиндриче­ской поверхности радиусом r, путем умножения напряжения сдвига на плечо импульса rи площадь 2prl:

Поскольку движение воды стационарно и угловое уско­рение отсутствует, то полный момент, действующий на ци­линдрическую поверхность воды между радиусами rи r+ dr, должен быть нулем; иначе говоря, момент сил на расстоянии r должен уравновешиваться равным ему и противоположно на­правленным моментом сил на расстоянии r+ dr, так что t не должно зависеть от r. Другими словами, r³(dw/dr) равно некоторой постоянной, скажем А, и

dw/dr=A/r³ (41.8)

Интегрируя, находим как w изменяется с r:

Постоянные А и В должны определяться из условия, что w=w_a в точке r=a, a w=w_b в точке r=b. Тогда находим

Таким образом, w как функция r нам известна, а стало быть, известно и v=wr.

Если же нам нужно определить момент сил, то его можно получить из выражений (41.7) и (41.8);

или

Он пропорционален относительной угловой скорости двух цилиндров. Имеется стандартный прибор для измерения коэф­фициентов вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удер­живается в неподвижном состоянии пружинным динамометром, который измеряет действующий на него момент сил, а внутрен­ний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффициент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).

Из определения коэффициента вязкости вы видите, что h измеряется в ньютон • сек/м². Для воды при 20° С

h=10³ нъютон • сек/м².

Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая равна h, деленной на плотность r. При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:

Вода при 20°С h/r=10^-6 м²/сек

Воздух при 20°С h/r=15•10^-6м²/сек., (41.12)

Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Напри­мер, для воды непосредственно над точкой замерзания отно­шение h/r в 1,8 больше, чем при 20° С.

Дата добавления: 2015-08-20