Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вычисление упругих постоянных

Необычные магнитные материалы | Закон Гука | Однородная деформация | Кручение стержня; волны сдвига | Собирая теперь все воедино, находим | Изгибание балки | Продольный изгиб | Тензор деформации | Тензор упругости | Движения в упругом теле |


Читайте также:
  1. Ввод и вычисление выражений
  2. Вибрация - малые механические колебания, возникающие в упругих телах или телах, находящихся под воздействием переменного физического поля.
  3. Вычисление арифметических выражений
  4. Вычисление значений логарифмов
  5. Вычисление значений тригонометрических функций
  6. Вычисление координат пунктов замкнутого теодолитного хода.
  7. Вычисление координат точек

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,— это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличе­нию потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изме­нения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае про­стого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

 

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычис­лить следующим образом. Прежде всего мы предположим нали­чие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадра­тична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэф­фициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными Cijkl.

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ион­ных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к бо­ковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к не­му и следующими побли­зости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами меж­ду далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны си­лы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Сле­дует еще учесть соответ­ствующие силы в плоскос­тях yz и zx.

Поскольку нас инте­ресуют только упругие постоянные, которые опи­сывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратич­ные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно.

 

 

Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).

 

Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k1. Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k2. (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором eij. В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компо­нентами: ехх, еxy и еyy. Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

 

 

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11.

 

 

 

Фиг,39.11. Перемещение ближайших и следующих побли­зости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)

 

Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения ux, uy, выписанные в табл. 39.1.

Таблица 39.1 • КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ux, uу

 

 

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k2/2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2будет равна

 

 

Заметьте, что с точностью до первого порядка y-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изме­нение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонталь­ного перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент uх и uv в диагональном направлении:

 

 

Воспользовавшись величинами uх и uy. можно получить выра­жение для энергии

 

 

 

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U0, получаем

 

 

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна

 

 

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w урав­нением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с од­ним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пру­жинкой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/a3 атомов, то w и U0 связаны соотношением

w=U0/2a3.

3

Чтобы найти упругие постоянные Cijkl, нужно только воз­вести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), приба­вить (39.46) и сравнить коэффициенты при еijеkl ссоответствую­щими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е2xx и е2yy, мы находим, что множитель при нем равен

 

 

поэтому

 

 

 

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения еххеyy от еyyехх, то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при еххеyy в урав­нении (39.45) равен 2k2, так что получаем

 

 

Однако из-за симметрии выражения для энергии при пере­становке двух первых значений с двумя последними можно считать, что Скхуууухх, поэтому

 

 

 

Таким же способом можно получить

 

 

 

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

 

 

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопиче­ские упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных k1 и k2. В нашем частном случае C хуxу=Cххуу. Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соеди­няющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для не­которых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что Сxxyy, вообще говоря, не равно Сxyxy. При­чина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяю­щей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направ­ленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, распо­ложенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в на­шей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные Сxxyy и Сxyxy у них почти равны.

Таблица 39.2 • упругие постоянные

КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ

 

Только хлористое серебро почему-то не хочет подчиняться условию Сххуу=Cxyxy..

 

* В литературе вы часто столкнетесь с другими обозначениями. Так, многие пишут:


Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 141 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Неупругое поведение| Гидростатика

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.012 сек.)