Уравнение движения

Сначала обсудим движение жидкости с чисто абстрактной теоретической стороны, а затем рассмотрим некоторые частные примеры. Чтобы описать движение жидкости, мы должны задать в каждой точке ее некие свойства. Например, вода (бу­дем называть жидкость просто «водой») в разных местах движется с различными скоростями. Следовательно, чтобы определить характер потока, мы должны в каждой точке и в любой момент времени задать три компоненты скорости. Если нам удастся найти уравнения, определяющие скорость, то мы будем знать, как в любой момент движется жидкость. Но скорость — не единственная характеристика жидкости, которая меняется от точки к точке. Только что мы изучали изменение давления от точки к точке. А есть еще и другие пере­менные. От точки к точке может меняться также плотность. Вдобавок жидкость может быть проводником и переносить электрический ток, плотность которого j изменяется от точки к точке как по величине, так и по направлению. От точки к точке может меняться температура, магнитное поле и т. д. Так что число полей, необходимых для полного описания ситуа­ции, зависит от сложности задачи. Очень интересные явления возникают, когда доминирующую роль в определении поведе­ния жидкости играют токи и магнетизм. Эта наука носит назва­ние магнитогидродинамика. В настоящее время ей уделяется очень большое внимание. Но мы не собираемся рассматривать эти весьма сложные случаи, ибо имеется немало менее сложных, но столь же интересных явлений, и даже этот более элементар­ный уровень будет достаточно труден.

Возьмем случай, когда нет ни магнитного поля, ни прово­димости и нам, кроме того, не следует беспокоиться о темпера­турах, ибо мы предположим, что температура в любой точке единственным образом определяется плотностью и давлением. Фактически мы уменьшим сложность нашей работы, допустив, что плотность постоянна, т. е. что жидкость существенно не­сжижаема. Другими словами, мы предполагаем, что изменения давлений настолько малы, что производимыми ими изменениями плотности можно пренебречь. Если бы это было не так, то в дополнение к явлениям, рассмотренным здесь, необходимо было бы учитывать и другие явления, скажем распространение звуковых или ударных волн. Распространение звуковых и ударных волн мы уже в какой-то степени изучали, так что при нашем рассмотрении гидродинамики мы изолируемся от этих явлений, допустив, что приближенно плотность r посто­янная. Легко определить, когда такое предположение о по­стоянстве r будет хорошим. Если скорость потока гораздо меньше скорости звуковой волны, то нам не нужно заботиться об изменениях плотности. Тот факт, что вода ускользает от нас при попытке понять ее, не связан с этим приближе­нием постоянной плотности. Усложнения, которые все-таки позволили ей остаться непонятой, мы обсудим в следующей главе.

Общую теорию жидкостей мы должны начать с уравнения состояния жидкости, связывающего давление и плотность; в нашем приближении оно имеет очень простой вид:

r=const.

Это и есть первое уравнение для наших переменных. Следую­щее соотношение выражает сохранение вещества. Когда вещество утекает из какой-то точки, то количество его в этой точке должно уменьшаться. Если скорость жидкости равна v, то масса, которая протекает за единичное время через единицу площади поверхности, равна нормальной к поверхности компо­ненте rv. Подобное соотношение у нас получалось уже в тео­рии упругости. Из знакомства с электричеством мы знаем также, что дивергенция такой величины определяется скоростью уменьшения плотности. Также и здесь уравнение

выражает сохранение массы жидкости: это гидродинамическое уравнение непрерывности. В нашем приближении, т. е. в при­ближении несжимаемой жидкости, плотность r постоянна и уравнение непрерывности превращается просто в

(Ñ•v)=0. (40.3)

Дивергенция скорости жидкости v, как и магнитного поля В, равна нулю. (Гидродинамические уравнения очень часто ока­зываются аналогичными уравнениям электродинамики; вот почему мы сначала изучали электродинамику. Некоторые предпочитают другой путь, считая, что сначала следует изу­чать гидродинамику, чтобы потом было легче понять электри­чество. На самом же деле электродинамика гораздо проще, чем гидродинамика.)

Следующее уравнение мы получим из закона Ньютона; оно говорит нам, как происходит изменение скорости в результате действия сил. Произведение массы элемента объема жидко­сти на ускорение должно быть равно силам, действующим на этот элемент. Выбирая в качестве элемента объема единичный объем и обозначая силу, действующую на единичный объем, через f, получаем

rX(Ускорение)= f.

Плотность сил можно записать в виде суммы трех слагаемых. Одно из них, силу давления на единицу объема — ( Ñ p), мы уже рассматривали. Но есть еще действующие на расстоянии «внеш­ние» силы, подобные тяжести или электричеству. Если эти силы консервативные с потенциалом, отнесенным к единице массы, равным j, то они приводят к плотности сил —r(Ñj). (Если же внешние силы не консервативные, то мы вынуждены писать внешнюю силу, приходящуюся на единицу объема, как f _внешн.) Кроме нее, на единицу объема действует еще одна «внутренняя» сила, которая возникает из-за того, что в текущей жидкости могут действовать сдвиговые силы. Они называются силами вязкости, и мы будем обозначать их через f _вязк. Тогда наше уравнение движения приобретает вид

rX(Ускорение)=-(Ñp)-r(Ñj)+ f _вязк. (40.4)

В этой главе мы будем предполагать, что наша вода «жид­кая» в том смысле, что ее вязкость несущественна, так что слагаемое f _вязк будет опускаться. Выбрасывая слагаемое с вяз­костью, мы делаем приближение, которое описывает некое иде­альное вещество, а не реальную воду. Об огромной разнице, возникающей в зависимости от того, оставляем ли мы слагаемое с вязкостью или нет, в свое время хорошо знал Джон фон Нейманн. Известно ему было и то, что во времена наибольшего расцвета гидродинамики, т. е. примерно до 1900 г., основные усилия были направлены на решение красивых математиче­ских задач в рамках именно этого приближения, которое ни­чего не имеет общего с реальными жидкостями. По­этому теоретиков, которые занимались подобными веществами, он называл людьми, изучающими «сухую воду». Они отбрасы­вали важнейшее свойство жидкости. Именно потому, что в этой главе мы при наших вычислениях тоже этим свойством будем пренебрегать, я озаглавил ее «Течение «сухой» воды». А обсуж­дение настоящей, «мокрой» воды мы отложим до следующей главы.

Если мы отбросим f_вязк, то в уравнении (40.4) все нам из­вестно, за исключением выражения для ускорения. Может показаться, что формула для ускорения частиц жидкости должна быть очень простой, ибо очевидно, что если v — ско­рость частицы в некотором месте жидкости, то ускорение ее будет просто равно дv//дt. Но это совсем неверно, и по довольно хитрой причине. Производная дv/дt выражает изменение ско­рости v (х, у, z, t) в фиксированной точке пространства. А нам нужно знать, как изменяется скорость данной капельки жидко­сти. Представьте, что мы пометили одну капельку воды цветной краской и можем наблюдать за ней. За маленький интервал времени At эта капелька продвинется в другое положение. Если капелька движется по некоторому пути, изображенному на фиг. 40.4, то за промежуток Dt она из точки Р₁ переме­стится в точку Р₂.

Фиг. 40.4. Ускорение частицы жидкости.

Фактически в направлении оси х она пере­двинется на расстояние v_xDt, в направлении оси у — на рас­стояние v_уDt, а в направлении оси z — на расстояние v_zDt. Мы видим, что если v (х, у, z, t) — скорость частицы в момент t, то скорость той же самой частицы в момент t+Dt представ­ляет величину v (х + D x, у + Dy, z+ D z, t + Dt), причем

Dx=v_xDt, Dy=v_yDt и Dz=v_zDt.

Из определения частных производных [вспомните уравнения гл. 2, вып. 5] мы с точностью до членов первого порядка получаем

Ускорение же Dv/Dt будет равно

Считая Ñ вектором, это можно записать символически:

Обратите внимание, что, даже когда дv/дt =0, т. е. когда скорость в данной точке не изменяется, ускорение все же останется. Примером может служить вода, текущая с постоян­ной скоростью по кругу: она ускоряется даже тогда, когда ско­рость в данной точке не изменяется. Причина, разумеется, состоит в том, что скорость данной капельки воды, которая первоначально находилась в одной точке, моментом позднее будет иметь другое направление — это центростремительное ускорение.

Остальная часть нашей теории — чисто математическая: нахождение решения уравнения движения, полученного под­становкой ускорения (40.5) в (40.4), т. е.

где слагаемое с вязкостью уже выброшено. Воспользовав­шись известным тождеством из векторного анализа, это уравнение можно переписать по-другому:

Если определить новое векторное поле W как ротор скорости v, т. е.

то векторное тождество можно записать так:

а наше уравнение движения (40.6) примет вид

Вы можете проверить эквивалентность уравнений (40.6) и (40.8), расписывая их по компонентам и сравнивая их, восполь­зовавшись при этом выражением (40.7).

Если W всюду равно нулю, то такой поток мы называем безвихревым (или потенциальным). В гл. 3, § 5 (вып. 5), мы уже определяли величину, называемую циркуляцией векторного поля. Циркуляция по любой замкнутой петле в жидкости равна криволинейному интегралу от скорости жидкости в дан­ный момент времени вокруг этой петли:

Циркуляция на единицу площади для бесконечно малой петли потеореме Стокса будет тогда равна ÑX v. Таким образом, W представляет собой циркуляцию вокруг единичной площади (перпендикулярной направлению W). Кроме того, ясно, что если в любое место жидкости поместить маленькую соринку (именно соринку, а не бесконечно малую точку), то она будет вращаться с угловой скоростью W /2. Попытайтесь доказать это. Вы можете также попробовать доказать, что для ведра воды на вращающемся столике W равна удвоенной локальной угловой скорости воды.

Если нас интересует только поле скоростей, то из наших уравнений можно исключить давление. Взяв ротор обеих частей уравнения (40.8) и вспомнив, что r — величина постоян­ная, а ротор любого градиента равен нулю, а также использо­вав уравнение (40.3), находим

Это уравнение вместе с уравнениями

W=ÑXv (40.10)

и

Ñ•v=0 (40.11)

полностью описывают поле скоростей v. На языке матема­тики — если в некоторый момент мы знаем W, то мы знаем ротор вектора скорости и, кроме того, знаем, что его дивер­генция равна нулю, так что в этих физических условиях у нас есть все необходимое для определения скорости v по­всюду. (Все это в точности напоминает нам знакомые условия в магнетизме, где Ñ• B =0 и ÑX B = j /e₀c².) Таким образом, данная величина W определяет v точно так же, как j опреде­ляет В. Затем из известного значения v уравнение (40.9) даст нам скорость изменения W, откуда мы можем получить новую Wв следующий момент. Используя снова уравнение (40.10), найдем новое значение v и т. д. Теперь вы видите, как в эти уравнения входит весь механизм, необходимый для вычисления потока. Заметьте, однако, что эта процедура дает только ско­рости, а всю информацию о давлении мы потеряли.

Отметим особое следствие нашего уравнения. Если в ка­кой-то момент времени t повсеместно W=0, то дW/дt тоже исче­зает, так что W всюду останется равной нулю и в момент t +Dt. Отсюда следует, что поток все время остается безвихре­вым. Если вначале поток не вращался, то он так никогда и не начнет вращаться. При этом уравнения, которые мы должны решать, таковы:

Ñ•v=0, ÑXv=0.

Они в точности напоминают уравнения электростатики или магнитостатики в пустом пространстве. Позднее мы вернемся к ним и рассмотрим некоторые частные задачи.

Дата добавления: 2015-08-20