Метод конечных элементов

В этом методе исходные уравнения и динамические краевые условия удовлетворяются только в некотором осредненном смысле для выбранного типичного конечного объема («элемента») среды. При этом аппроксимация различных полей проводится на конечном элементе локально и независимо от его положения в общей модели. Основная сфера приложения указанного подхода – это механика твердого деформированного тела. На основе данного метода построен известный программный комплекс ANSYS.

Такой способ построения численного решения отличается от традиционных разностных схем в первую очередь принципом построения континуального приближенного решения. Так, в разностных схемах обязательно присутствуют этапы дискретизации, а затем уже проводиться восполнение полученного дискретного решения до континуального. Причем, обычно эти процедуры жестко между собой не связаны, что порождает известную неоднозначность континуального восполнения (особенно характерную для схем второго и выше порядков аппроксимации). В методе конечных элементов с самого начала построения численного решения ищется наилучшее (в той или иной норме) приближение точного решения в некотором пространстве (обычно это пространство кусочно-гладких функций). Таким образом, в этом подходе как бы отсутствует этап восполнения. В целом можно считать подобные аппроксимации математически более строгими и более удобными для обоснований.

С другой стороны, методики этого типа имеют свою область применения и свои характерные трудности. По способу представления приближенного решения (которое обычно непрерывно или непрерывно с рядом производных) такие подходы, прежде всего, приспособлены для нахождения решения задач эллиптического и параболического типов. При решении гиперболических задач методы конечных элементов нельзя считать достаточно эффективными. Основная причина заключается в том, что здесь полностью отсутствует использование такого фундаментального свойства гиперболических задач, как конечность области влияния. Это приводит к неестественному «завязыванию» всех узлов расчетной области, следствием чего являются неоправданно высокие (для задач гиперболического типа) требования к объему используемой памяти ЭВМ.

Дата добавления: 2015-08-03