Обтекание цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью

Рассмотрим картину обтекания цилиндра в плоскости xoy (рис.7.16). Най-дём комплексный потенциал w в точке с радиус-вектором r в полярной системе координат ():

.

Умножая числитель и знаменатель дроби выражения в скобках на комплексно сопряженное число, получаем:

Из этого определения w следуют следующие формулы для и :

, . (7.6.8)

Из любого определения (7.6.8) для или можно теперь вычислить компоненты и скорости в точке :

, (7.6.9)

Рис.7.16

Пользуясь полученными выражениями (7.6.8), нетрудно построить линии тока () и линии равного потенциала - потенциальные линии (). Если ввести безразмерный модуль радиус-вектора и безразмерный расход , где есть расход жидкости вдали от обтекаемого цилиндра через площадку высотой и единичной длины, то второе уравнение (7.6.8) приводится к виду

.

Задавая величины , где m и n имеют целочисленные значения, и углы , возможно по известной квадратурной формуле вычислить значения и r, а затем построить линии тока. Аналогично строятся и линии равного потенциала. На рис 7.17 изображена примерная картина расположения линий тока и линий равного потенциала при обтекании цилиндра. В силу симметрии изображена лишь верхняя половина течения.

Рис. 7.17

Из (7.6.9) видно, что полученное решение удовлетворяет граничным условиям для идеальной жидкости: при Компоненты скорости и в любой точке поля течения вычисляются по формулам (7.6.9), а значение модуля скорости индивидуальной частицы может быть определено по формуле:

(7.6.10)

На поверхности цилиндра модуль скорости равен Очевидно, скорость имеет максимальное значение на поверхности цилиндра при углах При этом абсолютное значение максимальной скорости равно Из формулы (7.6.10) видно также, что в критических точках на поверхности цилиндра (q = 0, p) модуль скорости равен нулю.

Подбирая соответствующее конформное отображение , можно из простейшей задачи обтекания пластинки получить, например, обтекание эллипса, некоторого профиля крыла и других плоских тел, имеющих более сложную форму. В такой математической формализации и заключается эффективность применения теории функций комплексного переменного к решению задач о плоском, потенциальном движении идеальной жидкости.

Дата добавления: 2015-08-03