Комплексный метод анализа цепей синусоидального тока

В § 2.7 было показано, что между мгновенными значениями синусоидальных величин (2.20) и их комплексными значениями (2.21) существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому для описания режима работы цепи синусоидального тока можно применять любой из этих видов представления синусоидальных величин. Однако в слу­чае представления синусоидальных величин комплексными значениями законы Ома для резистивных (2.29), индуктивных (2.32) и емкостных (2.36) элементов, первый (2.39) и второй (2.41) законы Кирхгофа записываются в виде алгебраических, а не дифференциальных урав­нений. Совместное решение алгебраических уравнений для опреде­ления комплексных значений токов и напряжений всех элементов элек­трической цепи, т. е. применение комплексного метода расчета, — достаточно простая задача. По найденным комплексным значениям можно сразу записать при необходимости и соответствующие им мгно­венные значения синусоидальных величин.

При расчете режима работы электрической цепи синусоидального тока комплексным методом полезно выделить несколько логически самостоятельных этапов:

1) Представить исходные данные о параметрах всех элементов анализируемой цепи в комплексной форме. Это означает, что, во-первых, синусоидальные ЭДС или токи источников энергии, заданные мгновен­ными значениями (в тригонометрической форме), следует представить комплексными значениями (табл. 2.3) и, во-вторых, для индуктивных и емкостных элементов цепи определить соответствующие комплекс­ные сопротивления или комплексные проводимости (табл. 2.4).

2) Выбрать положительные направления для токов во всех ветвях, указав их стрелками на схеме цепи.

3) Пользуясь законами Ома и Кирхгофа в комплексной форме и учитывая выбранные положительные направления токов в ветвях, составить систему уравнений, определяющую режим работы цепи.

Таблица 2.3. Представление мгновенных значений синусоидальных ЭДС и токов источников комплексными значениями

4) Решить полученную систему уравнений, т. е. определить ком­плексные значения токов в ветвях цепи и комплексные значения на­пряжений на ее элементах.

Найденные комплексные значения токов и напряжений однозначно определяют соответствующие им мгновенные значения синусоидаль­ных токов и напряжений.

.В качестве примера рассмотрим анализ (расчет режима работы) комплексным методом электрической цепи синусоидального тока по рис. 2.23, а с источником ЭДС и источником тока положительные направления которых за­даны, а также с резистивным г, индуктивным Ь и емкостным С элемен­тами. Для этого выполним последовательно все этапы анализа.

1. Представим синусоидальные ЭДС и ток источников, мгновенные значения которых заданы соответствующим» комплексными значе­ниями 1см. (2.21) и табл. 2.3]:

E=E¥_c J=J¥

Определим комплексные сопротивления индуктивного jwL=jx_L и емкостного 1/jwC = — jх_с. элементов электрической цепи (см. табл. 2.4)

На рис. 2.23, б изображена схема электрической цепи, соответству­ющая схеме электрической цепи рис. 2.23, а, но для которой исход­ные данные о параметрах всех элементов представлены в комплексной форме.

2. Выберем положительные направления неизвестных токов в вет­вях (рис. 2.23, а) и положительные направления напряжений на пас­сивных элементах совпадающими с направлениями токов. Положитель­ные направления соответствующих им комплексных значений такие же (рис. 2.23, б).

3. При выбранных положительных направлениях токов и напря­жений составим полную систему уравнений для анализа цепи. Так как у цепи три узла (а, Ь, с), то по первому закону Кирхгофа в комплек­сной форме (2.39) составим уравнение для двух узлов, например а и Ь:

j+j_c,-j_L = 0; (2.42а)

j_L-j_c-j_r = 0. (2.426)

Цепь имеет три контура-ячейки, т. е. в общем случае по второму закону Кирхгофа следовало бы составить три независимых уравнения. Но так как в верхнем контуре действует источник тока, т. е. в этом контуре ток ^ известен, то составляем уравнения только для двух других контуров, обозначенных на рис. 2.23, б цифрами 1и 2:

U_L-U_c=E, (2.42в)

U_r+U_c = 0. (2.42г)

По закону Ома в комплексной форме для резнстнвного (2.29), индуктивного (2.32) и емкостного (2.36) элементов электрической цепи

U_r=rI_r; U_L=jxI_L; U_с = — jХ_СIс (2.42д)

Следовательно, уравнения (2.42в) и (2.42г) можно записать в виде

jx_LI_L+ jx_cI_c = Ё; (2.42е)

rI_r - jx_cI_c = 0. (2.42ж)

4. Решив совместно систему четырех алгебраических уравнений (2.42а), (2.426), (2.42е) и (2.42ж) с четырьмя неизвестными токами, определим их комплексные значения:

Для найденных комплексных значений тока запишем соответствую­щие им мгновенные значения:

Комплексные значения напряжения определяются по <2.42д), а мгновенные значения записываются аналогично мгновенным зна­чениям токов.

Для линейных электрических цепей синусоидального тока, так же как и для линейных электрических цепей постоянного тока, справед­лив принцип наложения (см. § 1.15). Поэтому для упрощения анализа линейных цепей синусоидального тока можно применять различные методы расчета, которые были рассмотрены при анализе линейных цепей постоянного тока: метод преобразования цепей (см. § 1.12), метод двух узлов (см. § 1.13), метод контурных токов (см. § 1.14), метод эквивалентного генератора (см. § 1.17) и др. Для анализа ли­нейных цепей синусоидального тока рассмотренные в гл. 1 методы расчета применяются в сочетании с комплексным методом. При этом математические формулировки различных методов расчета цепей постоянного тока остаются справедливыми и для расчета цепей сину­соидального тока. Нужно только все ЭДС, напряжения и токи заменить комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин, а сопротивления элементов — комплексными сопротивлениями.

В дальнейшем для понятий комплексные значения ЭДС, напря­жения, токи и т. д., а также соответствующих им векторов комплек­сных значений будем пользоваться и сокращенными терминами, нап­ример комплексный ток или просто ток.

Дата добавления: 2015-08-02