Законы кирхгофа для цепей синусоидального тока

Математическая формулировка двух законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока зависит от выбранного вида представления си­нусоидальных величин. Будем далее пользоваться для аналитического представления синусоидальных величин тригонометрическими функ­циями и соответствующими им комплексными значениями. При первом виде представления законы Кирхгофа определяют зависимость между мгновенными значениями соответствующих синусоидальных величин (для любого момента времени). При втором виде представления законы Кирхгофа определяют зависимость между комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин.

А. Первый закон Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа ал­гебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каж­дый момент -времени равна нулю. Для цепей синусоидального тока это означает, что в ветвях, сходящихся в любом узле, алгебраическая сумма мгновенных значений токов равна нулю;

∑ⁿ_R=1 i_r=0 (2.37)

т.е.

∑ⁿ_R=1 I_mRsin(wt+¥_iR)=0 (2.38)

где п — число ветвей, сходящихся в узле. В дальнейшем все синусоидальные токи, положительные направления которых выбраны к узлу (от узла), будем записывать со знаком плюс (минус).

На рис. 2.19 в качестве примера для одного из узлов построены мгно­венные. значения трех синусоидальных токов:

при выбранных положительных направлениях. По первому закону Кирхгофа

для любого момента времени.

Чтобы получить математическую формулировку первого закона Кирх­гофа в комплексной форме, представим все синусоидальные токи в (2.38) соответствующими им комплексными значениями (2.21): i_R=I_r¥_iR

Рис. 2.19. Рис. 2.20.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывается следующим образом:

(2.39)

т. е. алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, сходящихся в каком-либо узле электрической цепи синусоидального тока, равна нулю. Здесь комплексные значения токов, для которых положительные направления выбраны к узлу (от узла), записываются со знаком плюс (минус).

На рис. 2.20 построена векторная диаграмма трех токов: I₁=i₁¥ На векторной диаграмме должно выполняться равенство

(2.40)

Б. Второй закон Кирхгофа. По второму закону Кирхгофа алгеб­раическая сумма напряжений на резистивных, индуктивных и емкостных элементах, т. е- на пассивных элементах, в любом контуре элек­трической цепи в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС этого контура. В цепях синусоидального тока значения различных ЭДС и значения напряжений на пассивных элементах любого контура непрерывно изменяются. Но тем не менее алгебраические суммы мгновенных значений напряжений и ЭДС одинаковы:

Или

где пи m — соответственно числа пассивных элементов и ЭДС в кон­туре. В выражении (2.40.) будем считать, что все синусоидальные нап­ряжения и_ь и ЭДС е,,, для которых положи­тельные направления совпадают с произволь­но выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс и в против­ном случае — со знаком минус. Например, для контура на рис. 2.21 с направлением, обхода по направлению движения часовой стрелки по второму закону Кирхгофа

Чтобы получить математическую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме, представим все синусоидальные напряжения и,, и ЭДС е_й в (2.40) соответствующими комплексными значениями (2.21):

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме записывается следую­щим образом:

(2.41)

т. е. алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех пассивных элементах (резистивных, индуктивных, емкостных) какого-либо контура электрической цепи синусоидального тока равна алгеб­раической сумме комплексных значений всех ЭДС этого контура. Здесь комплексные значения напряжений и ЭДС, положительные нап­равления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс и в противном случае — со знаком минус.

Например, для контура рис. 2.21, показанного еще па рис. 2.22, а, по второму закону Кирхгофа в комплексной форме

На рис. 2.22, б построена векторная диаграмма ЭДС и напряжений для этого контура, которая наглядно иллюстрирует второй закон Кирх­гофа в комплексной форме.

Дата добавления: 2015-08-02