Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: , при

Общее решение данного уравнения имеет вид

а) Найдем - решение уравнения

Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня и (первый вид).

Тогда

б) - частное решение данного уравнения, будем искать согласно пункту 2.5, где A=0, B=2

в виде:

Дифференцируя это равенство два раза и подставляя найденные производные в исходное уравнение, получим:

;

;

Т.е.

Таким образом:

или

Приравняем коэффициенты при , , получим систему уравнений относительно неизвестных M и N:

или

или

Решив систему получим: ;

Тогда имеем

Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , при

Продифференцируем общее решение уравнения.

Имеем:

Полагая , при , получим систему уравнений

Решив ее имеем: ,

Следовательно, искомое частное решение уравнения имеет вид:

.

Дата добавления: 2015-07-25