Теорема

Пусть Н-гильбертово пространство (комплексное или вещественное) Для любого линейного ограниченного функционала f заданного всюду на Н существует единственный элемент такой что для всех

При этом ||f||=||y||

Доказательство

Рассмотрим L –множество всех элементов таких что

Если L=H то f=0 можно взять y=0 и теорема доказана

Пусть тогда найдется причем можно считать что <z_0,f>=1 Пусть теперь тогда x-<x,f>z_0 так как

Следовательно откуда

отсюда Итак можно принять

Покажем что ||f||=||y|| Действительно

По неравенству Коши-Буняковского Из определения нормы f имеем Но кроме того

Откуда Итак ||f||=||y||

Осталось доказать единственность y. Если то для любых Возьмем и получим ЧТД

9 Сопряженный дифф оператор

Пусть дан оператор L

Дифф оператор L* называется сопряженным к оператору L если он порожден сопряженным дифф выражением l*(y) и сопряженными краевыми условиями V_1=0,V_2=0,…,V_(2n-m)=0

Для нахождения сопряженного дифф уравнения используем

интегрирование по частям

получим

Это формула Лагранжа. Где -билинейная форма

Для нахождения сопряженных краевых условий выразим

Из условий

Если необходимо то дополним эту систему линейно независимыми для остальных y -ов

Подставим эти выражения в билинейную форму

И обозначим коэффициенты перед

Через

Тогда формула Лагранжа перепишется

ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Опр Оператор называется вполне непрерывным (или компактным) если замкнутый единичный шар пространства Х он переводит в компактное множество пространства Y

Не всякий оператор из L(X,Y) является вполне непрерывным. Напимер не является если Х не конечномерно т.к. единичный шар в Х является компактным множеством в Х лишь в случае конечномерности Х.

Свойство

Если вполне непрерывен то любое ограниченное в Х множество он переводит во множество компактное в Y.

Доказательство

Пусть и М ограничено т.е. существует R>0 такое что ||x||<=R для любых Возьмем любую последовательность тогда y_n=Ax_n де х_n Рассмотрим -единичный шар в Х. Вследствие полой непрерывности содержит фундаментальную подпоследовательность .Но тогда и фундаментальная подпоследовательность последовательности {y_n} т.е. AM компактно

Дата добавления: 2015-07-16