Задачу,определ-ую частные решения диф-го уравнения,удовл-го заданным условиям будем называть краевой задачей.

Рассмотрим краевые задачи на отр [0, l ] оси Ох для лин-го диф-го ур-ия 2го пор-ка ,где g(x),h(x),f(x)-непрер ф-ии на [0, l ].

Введем ф-ю заметим,что Через L[y]=f(x).Выр-ие L[y] наз диф-ым опер-м.Рассм краевую задачу для лин-го диф-го ур-ия 2го пор-ка,которое сведено к изучению краевых задач для ур-ия L[y]=f(x).Краевая задача L[y]=f(x) рассм с лин граничн усл-ми вида: .

Краевые зад,в кот пр ч ур-ие ≠0 наз-ся неоднор краевыми задачами.

Краевые задачи для однор ур-ия с однор гран усл-ми наз однородн краев задачами.

Рассм краевую задачу L[y]=f(x)

.(1)

Ф-ии p(x)>0 и непрер диф-ма на [0, l ],а действ-ые ф-ии g(x) и f(x)-непрер ф-ии на отр [0, l ].

Опр Реш-е краевой задачи (1) наз непрер диф-ой на [0, l ] ф-ия у(х) с непрер 2й произ-ой на инт-ле [0, l ],удовл на [0, l ] ур-ию и гран усл-ям(1).

Предп,что сущ-ет решение задаи (1)при спец-ом способе зад-ия правой части ур-ия,а именно при ф-ии f(x) отличной от 0 лишь в ε-окр-ти некот-й фикс точки х=ξ (0, l):

F(x)= (2)

Причем,ф-ия f_ε ≥0 и (3).Решение этой задачи обозн-т у_ε (х,ξ). Интегрир ур-ия(1) с таким обр зад ф-ей по отр [ξ-ε, ξ+ε] получим

1(т.к.интегр=1)(4)

Предп,что предельная ф-ия сущ-ет и непрер на [0, l ],тогда совершая пред-й переем при ε ->0 в (4) получим,что производная в точке х=ξ должна иметь разрыв 1го рода,причем разность пр и левого пред-го знач-ия этой произв-ой в точке х=ξ опред выр-м - .Т.о. если ф-ия сущ-ет,то она подчин-ся след-м усл-ям:1)как ф-ия перем-ой х удовл однор ур-ию при 0<x<ξ,ξ<x< l;2) удовл-ет гран-м усл-ям (1);3) непрер на [0, l ],а ее первая произв-ая в точке х=ξ имеет разрыв 1го рода с велич-й скачка предельн знач =

Опр Ф-ию,удовл усл (1-3) наз-т функцией Грина первой краевой задачи.

Существенное значение ф-ии Грина закл в том,что что через нее м.б. выражено реш-е первой краевой задачи с произв правой частью f(x).Пусть сущ-ет реш-е зад(1) и ф-ия Грина .Примен форм-лу Грина

= к этим ф-м на отр [0,ξ-ε] и [ξ+ε, l ],где ф-ии y(x) и непрер диф-мы и обл-т 2мя непрер произв,получим

+ (5)

Т.к. ф-ии у(х) и удовл однородн граничн усл-я (1),то подст-ки х=0 и х= l обращ-т в нуль.Переходя в (5) к пределу всилу опред ф-ии Грина получим ,что и т.д.

Дата добавления: 2015-07-16