|
Читайте также: |
Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа: 
. Функция 
называется гармонической в конечной области D, если она в этой области имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках D. Функция называется гармонической в бесконечной области D, если она в этой области имеет непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках D и равномерно стремится к нулю при стремлении точки 
в бесконечность (ф-ия 
при 
, если для 
заданного 
число А>0 такое что 
при 
, где r – расстояние точки М от начала координат).
Пусть 
- конечная область трехмерного пространства, ограниченная кусочно – гладкой ориентируемой поверхностью 
и пусть функции 
имеют внутри непрерывные и ограниченные производные первого порядка. Тогда имеет место формула Остроградского: 
(1), где n – внешняя нормаль к поверхности .
Выведем формулы Грина.
Пусть ф-ии и 
и их частные производные первого порядка непрерывны в вплоть до , частные производные второго порядка внутри непрерывны и ограничены. Полагая 
и пользуясь формулой (1) приходим к первой формуле Грина 
(2).
Меняя местами u и v в формуле (2) будем иметь 
(3).
Вычитая (2) из (3) получим вторую формулу Грина 
(4).
Лемма. Если функция непрерывна, имеет непрерывные производные первого и второго порядка везде в области , причем первые производные непрерывны вплоть до границы, а вторые производные непрерывны внутри области, то имеет место формула:
(5) где 
- расстояние от фиксированной точки 
лежащей внутри , до переменной точки 
, n – внешняя нормаль к поверхности .
Пусть 
гармоническая функция внутри конечной области - непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до границы области . Пусть известна ф-ия 
обладающая свойствами: 1) как функция переменной точки М она является гармонической внутри области и имеет непрерывные первые производные вплоть до поверхности ; 2) на поверхности ф-ия принимает граничные значения 
.
Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется ф-ия 
удовлетворяющая следующим условиям: 1) как функция точки М есть гармоническая внутри области исключая точку 
где она обращается в бесконечность; 2) она удовлетворяет граничному условию 
(6); 3) в области ф-ия допускает представление 
(7), где 
.
Построение ф-ии Грина сводится к нахождению ее регулярной части кот определяется из решения задачи Дирихле: 
(
).
С помощью ф-ии Грина решение внутренней задачи Дирихле (если оно существует) дается формулой 
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 139 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Б.2 В.18 Постановка внешних и внутренних краевых задач для уравнения Лапласа. Условие разрешимости внутренней задачи Неймана. | | | Прямоугольная система координат. |