Рез-ое множ-во и спектр линейного оператора.

Пусть Х компл-ое банахово простр-во.Рассм-м опер-р А:Х Х с обл-ю опред-я D(A) плотной в Х.Теперь рассм опер-р A-λI,где λ компл-ое число,I единица в L(Х).

Опр1 Точка λ наз-ся регулярной точкой оператора А,если опер-р A-λI непрер-но обратим.Совок-ть регул-х точек опер-ра А наз-ся резольвентным множ-ом опер-ра А и обознач-т ρ(А).Если λ ρ(А),то лин-й опер-р R_λ= (A-λI)^-1 наз-ся резольвентой опер-ра А.

Т1 Резольвентное мн-во ρ(А) всегда открыто.

Док-во Пусть λ₀ ρ(А).Это означает,чтоопер-р А- λ₀I непрер-но обратим.Рассм-м опер-р A-λI и запишем тождество: A-λI= А- λ₀I-(λ- λ₀)I=(А- λ₀I)[I-(λ- λ₀)I((A-λI)^-1]=(А- λ₀I)[I-(λ- λ₀)I R (A)]=(А- λ₀I) [I-(λ- λ₀) R (A)](1)Поскольку опр-р А- λ₀I непрер обратим,то опер-р A-λI будет непрер обратим когда непрер обратим будет опер-р I-(λ- λ₀) R (A).Воспольз теор-й об обратном операторе.Согласно этой теореме опер-р I-(λ- λ₀) R (A) будет непрер обратим,если |λ- λ₀| ||R (A)||<1 если λ₀ ρ(А),то круг S_r(λ₀),где тоже лежит в ρ(А).А это означает,что ρ(А) открытое множ-во.

Т2 Пусть А L(Х),тогда {λ:|λ|>||A||} ρ(А).

След-е. Если опер. огр-н,то мн-во неогр.

Опр2. Дополнение к в компл.плоскости наз.спектром опер. и обозн.

Из теор.1 ,что спектр любого линейного опер-ра Aявл.замкн.мн-ом(как дополн.к открытому мн-ву)

Из теор.2 ,что спектр огран. лин. опер-ра Aлежит в круге и явл.огр-м мн-ом.

Если то возм. 3 случая:

1)опер необратим;2)опер обратим,но его обл.знач-ий

3) опер обратим, но опер-р ^-1неогр.

Замеч-е Из теор-ы Банаха об обратном опер-ре ,что случай3)не возможен,если D(A)=Х и опр-р А огр-н.

Среди точек спектра важную роль играют собств-ые значения опер-ра А.Если λ-собств значен опер-ра А,то имеет место первый случай(оператор необратим).В этом случае х=0,где х-собст-ый вектор,отвеч λ,но тогда мн-во нулей N ≠{0} опер-р ^-1не сущ-ет.

Пример1 Если пр-во Х конечномерно,то спектр любого линейного опер-ра сост только из собст-ых значений.В m-мерном евкл-м или унитарном пр-ве Х всякий самосопр-ый опер-р имеет ровно m собств-ых значений с учетом их кратности.

Пример2 Спектр всякого вполне непрер опер-ра бесконечноммерно в банах-м пр-ве Х сост из не более,чем счетного мн-ва собств-ых значений,единой предельной тоской кот может служить точка λ=0.

Дата добавления: 2015-07-16