Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащие производные неизвестных функций.

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это уравнение называется обыкновеннвм диф ур-ем, в противном случае- ур-ем в частных производных. Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Частной производной первого порядка функции u([) по переменной х_i называется предел

Дифференциальным уравнением с частными производные относительно неизвестн функции u(x) называется отношение

Введем сокращенное обозначение , где L- дифференц оператор, действующий на функцию и преобразующий их в элементы пространства непрерывных функций .

Уравнение вида , где множеству непрерывных функций, называется линейным дифференциальным уравнением с частными производными, если для диф оператора L выполнены условия линейности

1)

2)

Рассмотри класс уравнений второго порядка с двумя неизвестными переменными. Введем специальные обозначения независ перем тогда

- заданные функции двух переменных

неизвестная функция

Для классификации уравнений (1), построим вспомогательную функцию

называемой дискриминантом уравнения.

Определение Тип уравнения определяется следующим образом

1) >0, то (1) называется гиперболического типа

2) <0-эллиптического типа

3) =0-параболического в точке (х,у)

Примера:

1) гиперболич тип – уравнение колебание струны , где

х=х₁пространственная переменная, t=х₂- временная переменная.

2) эллиптический тип- Уравнение Лапласа ; х,у- пространственная переменная

3) параболическое уравнение- уравнение теплопроводности

Перейдем в уравнении (1) от неизвестных переменных х, уК новым независимым переменным с помощью невырожденного преобразования

(2)

Преобразование (2) называется невырожденным в Е, если якобиан

Преобразуем производные к новым переменным

(3)
Подставляя значения производных из (3) в (1) будем иметь

(4)

где

функция не зависит от вторых производных.

Выберем переменные таким образом, чтобы коэффициент был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частн производными первого порядка

(5)

Пусть -какое нить частное решение этого уравнения. Если положить то , таким образом задача о выборе новых неизвестных переменных связана с решением уравнения (5).

Лемма: Если является частным решением уравнения , то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного диф уравнения

(6)

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (1), а его интегралы- характеристиками.

Уравнеине (6) распадается на 2 уравнения:

А подкоренное выражение определяет тип уравнения (1)

1) Пусть >0 (гиперболический тип)

Канонич вид тогда будет

2) Пусть =0 (параболический тип)

Канония вид

3)

Пусть <0 (элиптич тип)

Дата добавления: 2015-07-16