|
Читайте также: |
Рассмотрим уравнение 
(1) описывающие поперечные колебания струны. (Если рассматриваются свободные колебания струны то они описываются ур-ем 
).
Сформулирует первую краевую задачу для ур-ия (1). Найти ф-ию 
определенную в области 
удовлетворяющую ур-ию для 0<x<l, t>0, граничным 
t>0 (2) и начальным условиям 
0<x<l (3).
Теорема единственности: Возможно существование только одной ф-ии определенной в области и удовлетворяющей уравнению 
(4) 
начальным и граничным условиям: 
(5) если выполнены условия: 1) ф-ия и производные входящие в ур-ие (4) а также производная 
непрерывны на отрезке ; 2) коэффициенты 
и k(x) непрерывны на отрезке 
.
Д-во: допустим существует два решения рассматриваемой задачи 
и 
и рассмотрим разность 
. Ф-ия 
очевидно удовлетворяет однородному уравнению 
и однородным дополнительным условиям: 
; 
а также условию 1) теоремы. Докажем что 
. Рассмотрим ф-ию 
(6) и покажем что она не зависит от t.
Ф-ия (6) называется полной энергией струны. Физический смысл ф-ии E(t): это полная энергия струны в момент времени t.
Продифференцируем E(t) по t, выполняя при этом дифференцирование под знаком интеграла: 
. Интегрируя по частям первое слагаемое правой части будем иметь: 
. Подстановка обращается в нуль в силу граничных условий (из 
следует 
и аналогично для x=l). Отсюда следует что 
т.е. E(t)=const. учитывая начальные условия получаем 
(7) т.к.
. Пользуясь формулой (7) и положительностью k и 
заключаем, что 
. Откуда и следует тождество 
. Пользуясь начальным условием, находим 
,тем самым доказано что . Следовательно если существуют две функции 
и удовлетворяющие всем условиям теоремы то 
.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 280 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащие производные неизвестных функций. | | | Б.2 В. 17 Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность решения первой краевой задачи и задачи Коши. |