Понятие устойчивости. Теорема Ляпунова об устойчивости.

Т1:(Ляпунова об устойчивости)

Если существует диф. функция ,которая называется функцией Ляпунова в некоторой окрестности нач. координат удовлетворяет:

1)

2)

то системы (1) является устойчивым. Производная вдоль фазовой траектории системы (1) вычисляется так: вместо подставляем

ситемы (1) . В результате v превращается в сложную функцию параметра i.

Чтобы док-во было более понятным и наглядным я иск. геометрическую интерпретацию.

Опр: Поверхностью уровня фунуции многих переменных наз. гиперповерхность в n- мерном пространстве на которой функция v принимает const значенияе.

Иллюстрации будут в двумерном пространстве, но это будет справедливо в размерности 3.

Поверхности уровня функции Ляпунова

будут замкнутыми поверхностями вложенными друг в друга и содержащими начало координат.

Рисунок.

Все поверхности замкнуты

Рисунок.

Поверхность не проходит через начало координат.

V<C

Возьмем любую m в окрестности в качестве начальной точки некоторой фазовой траектории.

Вычислим Значение функции Ляпунова.

начального значения.

По определению устойчивости точка покоя явл. устойчивой по Ляпунову.ч.т.д.

№39

Дата добавления: 2015-07-19