|
Читайте также: |
Порядок (7) может быть понижен, если известно одно частное решение 
этого уравнения. Для понижения порядка необходимо сделать замену:
Покажем, что (13) понизит порядок на 1, при этом новое уравнение u(x) будет линейным и однородным.
y=y 
z (14)
z 
=u (15)
Применим к (7) замену (14),
получим новое уравнение с z, которое является лин. и однородным.
z и ее производные входят линейно и однородно. Если все производные и саму функцию (14) подставим в (7) и приведем подобные, получим:
Т.к. функции y и z связаны равенством (14), то решение 
уравнения (7) соответствует 
.
Т.К. все функции 
0, подставим в (16), то получим 
Делая замену (15):
У (18) порядок n-1,лин., однородное.
Пусть известно к штук решений- линейно независимых на [а.в] частное решение: 
уравнения (7). Покажем что в этом случае порядок (7) можем быть понижен на к-едениц, с сохранением линейн-ти и однородности урав-я.
- замена.
Получим (18)-лин. и однор.
Из (19) выразим u(x) и продифферен-цируем. 
Если в нее подставлять , то получим
; 
;…………. 
(20)
Покажем, что (20) линейно- нез. на [а,в].
Пусть противное, (20)- линейно-зависимо на [а,в]. То 
Вычисляем от обеих частей определенный интеграл:
где 
, 
.
Т.к. первообразная совпадет с функцией и используя формулу Ньтона- Лейбница, получим:
/* 
обе части тождества:
Это тождество невозможно т. к. 
линейно нез. на [a,b].
Взяв одно из частных решений 
, мы понизим порядок (7) на 1, получив (18)-лин. и однор., для этого ур. мы знаем к-1 частное решение (20)-лин. нез. на [a,b].
Берем одно из частных решений (20), понижаем порядок (18) еще на 1, получаем к-2 лин. нез. частных решений. Продолжая этот процесс к раз придем к уравнению n-k –лин,однор.
№ 9
Дата добавления: 2015-07-19; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Док-во. | | | Формула Остроградского-Лиувилля. |