Надо 
док-ть,что явл. решением (7).То, что (10) явл. частным решением (7) следует из 3 св-ва частных решений лин. однор. уравнений.Но нужно док-ть более сильное утв:что (10) явл. общим решением ур(7) т.е содержит в себе все частные решения Ур(7) без исключений.
Т.к. при сформулируемых условиях (7) удовлетворяет условиям теоремы существования единственности решения, то нам достаточно показать, что постоянные 
в решении (10) всегда можно подобрать так, чтобы это решение удовлетворяло произвольно заданному начальному условию: 
. 
-любые числа.
Чтобы убедиться в этом подставим (10) в каждое из начальных условий (11):
(12)
……………………………………..
Относительно постоянных (12) явл. линейной, неоднор., алгебраической системой.Определитель которой равен 
.
Т.К. у1,у2…явл. лин.нез. по условию на [a,b] коэффициентами, то по 2) св-ву определителя Варденмонда наш опрнделитель не равен 0. То по теореме Кронсера-Капелли сис(12) имеет решение 
и любых правых частях. ч.т.д.
След1: Макс. число лин.нез. частных решений лин. однор Ур.= его порядку.
След2: 
лин.нез. частных решений лин. однородного ур. n-ого порядка наз. его фундаментальной системой решеший.
Альтернативная формулировка теоремы выше6 общее решение лин. однор. ур. с непр. коэф-ми равно лин. комбинации его фундам. сис. решений.
16. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения). Частные решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами a0y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y/+any=0(1)
,(где а0,а1…аn-действ.постоянные)
всегда можно искать в виде y=ekx,
где k – некоторая постоянная. Так как y/=kekx, y//=k2ekx, …, y(n)=knekx, то подставляя в исходное дифференциальное уравнение имеем: (a0kn+a1kn-1+…+an-1k+an)ekx=0.
Сокращая на необращающийся в нуль множитель ekx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени, называемое характеристическим:
a0kn+a1kn-1+…+an-1k+an=0.(2)
Это уравнение определяет те значения постоянной k, при которых функция y=ekx является частным решением линейного однородного уравнения (1). В зависимости от рода корней характеристического уравнения (2) возможен случай:
Если все корни(2) k1, k2,…,kn характеристического уравнения действительны и различны 
, то тем самым найдено n линейно независимых частных решений 
(3) исходного уравнения, то есть найдена его фундаментальная система решений.
(3)-лин. независимы на любом отрезке.То (3) образуют ф.с.р.(1)
Следовательно, 
, где Ci – произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения(1)
№7
Дата добавления: 2015-07-19; просмотров: 98 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Основные свойства определителя Вронского. | | | Понижение порядка в линейных дифференциальных уравнениях n-го порядка. |