Динамическое представление сигналов

Особое значение имеет анализ прохождения сигналов через линейные инвариантные во времени системы (ЛИВС). В качестве примеров таких систем могут быть линейные фильтры и усилители, различные системы передачи и др. Процессы, протекающие в таких системах при импульсных воздействиях, называются переходными.

В этом параграфе мы рассмотрим суперпозиционный метод анализа, основанный на представлении импульсного воздействия как суперпозиции элементарных сигналов некоторой «стандартной» формы. В качестве таких стандартных сигналов выбираются функция включения и дельта-импульс.

Рис. 1.11.1

Рассмотрим некоторый гладкий сигнал Такой сигнал можно построить из задержанных с шагом ступенчатых функций, причем высота каждой ступеньки соответствует приращению функции между соседними точками (рис. 1.11.1). Для определенности будем считать сигнал каузальным, т. е. при Обозначим Тогда, как видно из построения,

Здесь – функция включения (1.8.35). Если шаг устремить к нулю, то

и в пределе получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций включения:

Реакция системы с нулевыми начальными условиями на функцию включения называется её переходной характеристикой. Эту безразмерную функцию обозначим через Для линейной инвариантной во времени системы (ЛИВС) с переходной характеристикой входное воздействие вызывает отклик поэтому

Переходя к переделу при получим выражение

Этот суперпозиционный интеграл называется интегралом Дюамеля.

Метод интеграла Дюамеля целесообразно применять в тех случаях, когда известна или легко находится переходная характеристика.

Иногда удобнее пользоваться тождественными формами интеграла Дюамеля:

Уравнения – могут быть преобразованы одно в другое интегрированием по частям.

Рассмотрим теперь другое представление непрерывного сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 1.11.2). Длительности импульсов одинаковы и равны а амплитуды равны отсчетам сигнала

Рис. 1.11.2

Отдельный импульс представим в виде

Тогда исходный сигнал представляется как сумма таких элементарных слагаемых:

При достаточно малом можем записать

Отдельное слагаемое в правой части равенства представляет собой δ-функцию с площадью расположенную в точке (рис. 1.11.3). Смысл выражения заключается в том, что обе его части будут оказывать одинаковое воздействие на физическую систему.

Перейдём к пределу при При этом суммирование необходимо заменить интегрированием по переменной . Учитывая (1.8.32), получаем формулу динамического представления сигнала:

Рис. 1.11.3

Реакция системы с нулевыми начальными условиями на дельта-функцию называется импульсной характеристикой. Обозначим её через Соответствие отражает фильтрующее свойство дельта-функции: для получения отсчётного значения сигнала в точке необходимо сигнал пропустить через фильтр с импульсной характеристикой Ясно, что такой фильтр физически нереализуем. Измерение отсчётного значения сигнала будет тем точнее, чем короче импульсная характеристика реального фильтра.

Для ЛИВС с импульсной характеристикой входное воздействие вызывает отклик поэтому

Если выполнить предельный переход то формально получим выражение

которое называют общим представлением любой ЛИВС в виде интеграла наложения.

Импульсная характеристика и интеграл наложения являются исключительно эффективными средствами описания поведения ЛИВС общего типа. Для физически реализуемых систем при т. е. импульсная характеристика должна быть каузальной.

Положим, что линейная цепь, имеющая операторное сопротивление присоединена в момент к источнику ЭДС Изображение тока, возникающего в цепи,

равно произведению двух функций: изображения и операторной проводимости цепи Если то токовая реакция цепи (импульсная характеристика)

т. е. изображение импульсной характеристики равно операторной проводимости цепи.

По теореме о спектре свёртки переходной ток в цепи находится по формуле

Пример 1.11.1. К последовательно соединённым и в момент подключается ЭДС Найти ток в цепи при

Операторной проводимости

соответствует функция времени Согласно

Если в этой формуле перейти к пределу то

Это токовая реакция последовательной RL- цепи на функцию

Пример 1.11.2. Применяя теоремы дифференцирования и интегрирования преобразования Лапласа, интегратор можно представить во временной и

частотной областях так, как показано на рис. 1.11.4 слева.

Рис. 1.11.4

Передаточная характеристика интегратора имеет вид

и, следовательно, импульсная характеристика

как представлено на рис. 1.11.4 справа. Интеграл наложения даёт реакцию интегратора на входное воздействие

Выходной сигнал с учётом начальных условий равен

что полностью соответствует действию интегратора.

Пример 1.11.3. К параллельной RC- цепочке в момент подключается генератор тока Определить закон изменения выходного напряжения при нулевых начальных условиях на ёмкости.

Составляем уравнение в области изображений:

Отсюда находим передаточную функцию

Следовательно, импульсная характеристика (см. п. 1.10)

а) б)

Рис. 1.11.5. Цепь (а) и её импульсная характеристика (б)

Обратим внимание на размерность которая, как очевидно, есть

Исходя из, запишем для выходного напряжения

Этот результат иллюстрируется на рис. 1.11.6.

Рис. 1.11.6. Вход и выход цепи, изображённой на рис. 1.11.5

В случае, когда получается реакция на ступенчатую функцию

Эта реакция представляет собой масштабированную с множителем переходную характеристику цепи.

Пример 1.11.4. Рассмотрим цепь на рис. 1.11.7 а. Пусть в момент включается напряжение с законом изменения во времени, показанным на рис. 1.11.7 в. Требуется найти закон изменения во времени тока в цепи при

Рис. 1.11.7

Схема для изображений показана на рис. 1.11.7 б. Т. к. для изображения переходной характеристики можем записать

где Эта функция имеет два полюса и Вычеты относительно этих полюсов равны соответственно и По формуле Хевисайда (1.10.7) получаем переходную характеристику цепи

Для решения задачи используем интеграл Дюамеля в виде

Поскольку

и

для тока в цепи можем записать

Произведя интегрирование, получим при

Дата добавления: 2015-11-16