Читайте также: |
|
Введём в рассмотрение дельта-функции Дирака. Их корректное определение даётся в теории обобщённых функций [5–7]. Здесь мы воспользуемся некоторыми полезными свойствами этих функций.
Дельта-функция Дирака по определению равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и нулю – при остальных значениях, причём площадь под её графиком равна единице. Таким образом,
и
Из последнего соотношения следует, что дельта-функция имеет размерность, обратную размерности её аргумента.
Часто желательно определять эту функцию так, чтобы она была чётной функцией своего аргумента:
в этом случае
Предположим, что дельта-функция интегрируема по интервалу
Тогда
где – функция единичного скачка или функция Хевисайда:
Таким образом, функция единичного скачка является интегралом от дельта-функции. Следовательно:
а) б)
Рис. 1.8.9. а – д ельта-функция, б – функция единичного скачка
Рассмотрим три импульса (рис. 1.8.10), отличающиеся тем, что площади их равны единице.
при стремлении их длительности к нулю
Введём предельные соотношения:
Каждая из приведённых аппроксимирующих функций (импульсов) является простым и физически наглядным прототипом дельта-функции. Однако следует отметить, что дельта-функция не является ни функцией в классическом смысле, ни импульсом, а является обобщенной функцией.
Известно так называемое фильтрующее свойство дельта-функции, заключающееся в том, что её свёртка с любой ограниченной и непрерывной в точке функцией равна
Если функция в точке имеет разрыв (первого рода), то
где – значения справа и слева от точки разрыва.
Доказательство получается, если под знак интеграла подставить вместо любую аппроксимирующую её функцию (рис. 1.8.10), а затем перейти к пределу.
Если – действительная величина, то выполняются следующие равенства:
На основании находим, что
т. е. спектр дельта-функции постоянен на всех частотах. Отсюда еще одно полезное соотношение (обратное ПФ):
Аналогично, из того, что можем записать
Из последних соотношений видно, что спектр единичной константы есть дельта-функция, сосредоточенная в нуле, а спектр комплексной экспоненты – одиночная дельта-функция, сосредоточенная в точке Для частоты соответствие записывается в виде
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 174 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
И шириной его спектра | | | Спектр действительного гармонического сигнала |