Система Уолша–Адамара

Рассмотренные в п. 1.6 функции Уолша задавались целочисленным номером или и аргументом который непрерывно изменялся в интервале Так как функции Уолша кусочно-постоянные на двоичных участках ; ; то для аргумента достаточно указать принадлежность к определенному участку, т. е. можно рассматривать функции Уолша как функции дискретного аргумента или . При таком представлении первым функциям Уолша может быть сопоставлена квадратная матрица Элементами строки этой матрицы являются значения функции Уолша (в нумерации Уолша или Пэли) на двоичных участках. Пример таких матриц в случае

приведён на рис. 1.7.2.

а) б)

Рис. 1.7.2. Функции Уолша, упорядоченные по Уолшу, при

а – непрерывные; б – дискретные

Матрицы ортогональны, т. е.

где – единичная матрица, а верхний индекс означает транспонирование. Элементы строк равны кроме того, матрицы симметричны.

Рассмотрим теперь ещё одну систему функций Уолша – систему Уолша–Адамара. В этой системе функции Уолша расположены одна под другой в таком порядке, что из них образуется матрица Адамара. Для матриц Адамара порядка существует метод итеративного построения на базе элементарной матрицы порядка 2:

Строки матрицы Адамара представляют значения функций Уолша, расположенных в порядке Адамара (рис. 1.7.3).

а) б)

Рис. 1.7.3. Функции Уолша, упорядоченные по Адамару, для

а – непрерывные; б – дискретные

Функции Уолша–Адамара определяются следующим образом:

Здесь и – коэффициенты двоичного представления чисел и

Функции ортогональны:

симметричны:

,

N -периодичны по обеим переменным:

Дата добавления: 2015-11-16