Полные ортонормированные системы

Важная особенность дискретных представлений вида (1.4.1) состоит в том, что от них просто перейти к приближенным конечным представлениям, необходимым для численных расчетов и при физических измерениях сигналов. В связи с этим возникает ряд математических и практических вопросов. К числу математических вопросов относятся следующие.

1) Практически можно использовать только конечное число коэффициентов Как следует выбирать эти коэффициенты, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку

2) Желательно, чтобы Когда это имеет место?

Для ответа на первый вопрос достаточно продифференцировать по некоторому конкретному Если коэффициенты комплексные, производная берется по действительной и мнимой частям. Приравняв производную нулю и решая относительно получим, что коэффициенты должны быть

Коэффициенты выбираемые по алгоритму, называются коэффициентами Фурье по системе Таким образом, из всех полиномов N- го порядка вида (1.4.5) наименьшее среднеквадратическое отклонение от данного сигнала имеет N- я частичная сумма ряда Фурье по системе Это следует из того, что вторая производная является положительной постоянной величиной, и коэффициенты, определяемые из, обеспечивают абсолютный минимум ошибки

Важно отметить, что при увеличении N величины ранее вычисленных коэффициентов остаются неизменными. В результате значительно экономится объем вычислений, если после оценки ошибки приходится принять решение об увеличении числа членов ряда.

Для ортонормированной системы функций

коэффициенты Фурье будут вычисляться по формуле

Ответим теперь на второй вопрос. Из выражения имеем

Отсюда

Поэтому при любом конечном N имеет место

– неравенство Бесселя. Из вытекает, что Если для всех с конечной энергией, то – полная ортонормированная система в пространстве Смысл полноты системы заключается в том, что для такой системы ошибка при увеличении N может быть сделана как угодно малой. Для полных ортонормированных систем имеет место равенство Парсеваля:

Поэтому

т. е. ошибка определяется суммой квадратов модулей отброшенных коэффициентов Фурье.

Пример 1.5.1. Дадим геометрическую трактовку представления сигнального вектора ортогональным рядом. Пусть необходимо выбрать коэффициенты в конечной сумме так, чтобы расстояние между векторами и

было минимальным. Предположим, в частности, что необходимо найти минимальное расстояние между вектором лежащим в -плоскости, и трёхмерным вектором как показано на рис. 1.5.1.

Рис. 1.5.1

Ясно, что минимум достигается, если вектор перпендикулярен -плоскости. При этом составляющие вектора равны составляющим вектора по координатам и . Это означает, что они должны равняться коэффициентам Фурье. Далее из рисунка следует соотношение, эквивалентное неравенству Бесселя:

1.6. Некоторые системы базисных функций из L₂

Можно выделить два класса базисных функций: сдвиговые и мультипликативные.

Сдвиговые базисные функции строятся из одной функции путём сдвига по её аргументу. Наиболее употребительными сдвиговыми базисными функциями являются функции отсчётов и импульсные функции.

Дата добавления: 2015-11-16