Метрические пространства

Сигналы, обладающие некоторым общим свойством, можно объединить в одно множество S. Примером является множество периодических сигналов, множество сигналов с финитным спектром и т. д. Определив множество, мы начинаем интересоваться отличительными свойствами элементов этого множества. Общий подход заключается в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действительное положительное число которое трактуется как расстояние между элементами x и y.

Множество, в котором определено расстояние, представляет собой пространство сигналов. При этом сигналы удобно рассматривать как векторы в этом пространстве. Функционал отображает каждую пару элементов на действительную ось и называется метрикой, обладающей следующими свойствами:

а) и , если только

б) (симметрия);

в) (неравенство треугольника).

Множество с метрикой называется метрическим пространством. Две разные метрики, определённые на одном и том же множестве, порождают разные метрические пространства. Приведём примеры часто используемых метрик.

Для аналоговых сигналов, заданных на интервале

Для дискретных сигналов, заданных на интервале

В пространстве n -разрядных двоичных сигналов расстояние между любой парой таких сигналов

и

вполне будет определяться числом несовпадающих символов:

где Å означает сложение по модулю 2: без переноса в старший разряд. Метрика определяет расстояние по Хеммингу для двоичных слов.

Дата добавления: 2015-11-16