Гильбертово пространство

Это пространство определяют следующим образом.

1. Задано линейное пространство

2. Для каждой пары и сигналов из вводится линейная операция называемая скалярным произведением двух векторов, в результате которой образуется скаляр, а не вектор. Эта операция должна удовлетворять аксиомам:

но

причём тогда и только тогда, когда Здесь и далее звездочка означает комплексное сопряжение.

3. В существует счётное число линейно независимых векторов.

Норма или длина вектора определяется как

В гильбертовом пространстве вводится угол q между двумя векторами, косинус которого определяется через скалярное произведение:

Это соотношение используется для определения понятия ортогональных векторов. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если Поскольку то

– неравенство Коши–Буняковского.

По определению гильбертова пространства в нем существует счетная система линейно независимых векторов, которые можно ортогонализировать, пользуясь известной процедурой Грама–Шмидта. Поэтому в гильбертовом пространстве существует счётная ортогональная система векторов образующих ортогональный базис. В этом случае любой вектор может быть представлен в виде

где

Для ортонормированного базиса

Квадрат нормы называется энергией сигнала. Ряд называется рядом Фурье по базису а коэффициенты c_n коэффициентами Фурье сигнального вектора в этом базисе.

Аналогично для любых двух векторов и имеющих в ортонормированном базисе спектры { a_n } и { b_n } соответственно, справедливо равенство

При переходе к другому ортонормированному базису координаты a_n и b_n изменятся (станут и соответственно), однако скалярное произведение останется без изменения:

Это соотношение называется равенством Парсеваля.

За расстояние между векторами и в гильбертовом пространстве принимается длина разностного вектора:

Сигналы, принадлежащие гильбертову пространству, изображаются точками и векторами, идущими из начала координат в данную точку. Их можно складывать и умножать на числа. Можно рассматривать длину вектора, представляющего сигнал, как его норму, измерять расстояние между сигналами, вводить угол между векторами, изображающими сигналы.

Пример 1.2.1. Рассмотрим совокупность линейно независимых векторов Практически всегда можно преобразовать эту совокупность в систему из взаимно перпендикулярных единичных векторов которая позволяет представить любой из векторов в виде

Чтобы найти такую координатную систему, воспользуемся известной процедурой Грама–Шмидта.

а) Пусть выбираем таким образом, чтобы

б) Допустим, что выбираем таким образом, чтобы На основании этого вычисляем значение Далее находится значение из условия нормирования .

в) Аналогично допустим, что Из условия ортогональности этого вектора обоим векторам и получаем значения и . Затем найдём значение из условия нормирования .

г) Продолжая эту процедуру, последовательно найдём , и т. д.

Пример 1.2.2. Из равенств (1.2.9) и (1.2.19) следует

Дата добавления: 2015-11-16