Система единичных импульсов

Простейшая система базисных векторов в N- мерном пространстве может быть задана единичной матрицей порядка N, т. е. диагональной матрицей размера с единичными диагональными элементами.

Каждая строка этой матрицы соответствует единичному импульсу, смещенному на позиций:

Любые две строки ортогональны, и норма базисной функции равна 1:

Дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ)

Функции (ДЭФ) определяются следующим образом:

Здесь и – целые числа, т. е. число функций в системе равно числу отсчетов каждой функции. Вследствие этого, а также в силу линейной независимости, система ДЭФ является полной в пространстве Можно формально перейти от (1.6.8) к, если в первой из этих формул положить , где – шаг дискретизации по времени.

Основные свойства ДЭФ.

1. ДЭФ является комплексной функцией.

2. Матрица является симметрической.

3. ДЭФ периодична с периодом N по обеим переменным.

4. Система ДЭФ ортогональна:

Ряд Фурье по этой системе

,

где коэффициенты Фурье

Соотношения и определяют пару дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которое будет подробно рассмотрено в главе 3.

5. Система ДЭФ мультипликативная:

где т. е. индексы суммируются по модулю

6. Среднее значение ДЭФ для равно нулю:

7. Комплексно-сопряженные функции и расположены симметрично на интервале N. Действительно, используя свойство периодичности, можно записать

Номера и являются противоположными по модулю и расположены симметрично на интервале . Следовательно, на интервале фаза ДЭФ является нечетной функцией. Это свойство ДЭФ объясняется их периодичностью относительно номера функции и отсутствует у комплексных экспоненциальных функций.

8. Система ДЭФ может определяться на любом интервале как четном, так и нечетном. При четном система ДЭФ состоит из двух действительных функций (при и ) и пар комплексно-сопряженных функций. При нечетном система ДЭФ содержит только одну действительную функцию (при ) и комплексно-сопряженных пар.

9. ДЭФ можно изобразить на плоскости в виде вращающегося вектора единичной длины (рис. 1.7.1). Если у комплексных экспоненциальных функций этот вектор вращается непрерывно, то у ДЭФ он вращается скачкообразно, проходя при изменении на единицу угол радиан. В результате на интервале вектор проходит угол радиан, т. е. совершает оборотов. Вектор комплексно-сопряженной функции

совершает оборотов.

Рис. 1.7.1

Частота как скорость нарастания фазы равна для и для комплексно-сопряженной функции Комплексные экспоненциальные функции (1.6.8) подобным свойством не обладают.

10. Двумерные ДЭФ в прямоугольной системе координат определяются как произведение одномерных:

Дата добавления: 2015-11-16