И шириной его спектра

Как видно из предыдущих примеров, импульсы ограниченной длительности имеют бесконечно протяжённый спектр. Практически под эффективной шириной спектра принимают область частот, в пределах которой сконцентрировано 90¸99% энергии сигнала. Аналогично можно ввести понятие эффективной длительности импульсных сигналов бесконечной протяженности, таких, как колокольный и экспоненциальный импульсы и др. В этом случае величины и находятся из выражений

Для в таблице 1.8.1 приведены значения произведений у распространённых на практике импульсов [19]. Из таблицы видно, что произведение оказывается наибольшим для разрывных сигналов (прямоугольного и экспоненциального); меньшее значение получается у импульсов с разрывом первой производной (треугольного и косинусоидального). Наконец, наименьшее значение оказывается у колокольного импульса, для которого выражающая его функция непрерывна со всеми своими производными. Из изложенного можно заключить, что невозможно одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени.

Т а б л и ц а 1.8.1

Импульс	Рис.
Прямоугольный	1.8.2	0,9	5,1	0,81	0,73
Треугольный	1.8.4	0,541	5,3	0,84	0,46
Косинусоидальный	1.8.5	0,596	4,57	0,73	0,43
Экспоненциальный	1.8.6	1,15	6,16	0,98	1,13
Колокольный	1.8.8	0,83	1,64	0,26	0,22

Это утверждение представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределённости:

где – постоянная, зависящая от выбора определений и

Рассмотрим определения для и основанные на понятии о моментах функции. За меру длительности импульса можно принять величину

где – нормированный первый момент (середина импульса), – нормированный второй центральный момент.

Аналогично, мера ширины спектра

Принцип неопределенности записывается в виде

т. е. длительность импульса и ширина его спектра не могут одновременно иметь произвольно малое значение. Наименьшее значение соответствует колокольному импульсу.

Замечание. Метод моментов применим не ко всем сигналам. Сигнал с увеличением должен убывать быстрее, чем а спектр – быстрее, чем т. к. в противном случае соответствующие интегралы расходятся. В частности, это относится к спектру прямоугольного импульса.

Итак, при заданной форме сигнала сжатие его во времени неизбежно сопровождается расширением спектра и, наоборот, сжатие спектра сопровождается растяжением сигнала во времени. Принцип неопределенности – фундаментальный принцип, используемый при синтезе и обработке импульсных сигналов.

Дата добавления: 2015-11-16