Задачи и упражнения к пп. 1.8–1.9

1–20. Доказать свойства ПФ (1–20) в таблице 1.8.2.

Указания к доказательству некоторых из этих свойств:

1. Сделать замену в прямом ПФ.

3. Продифференцировать по t интеграл обратного ПФ и сделать соответствующие выводы.

4. Продифференцировать по f интеграл прямого ПФ и сделать соответствующие выводы.

5. Представить как свертку с функцией включения и использовать теорему свертки ПФ.

6. Представить и выполнить предельный переход при в спектральной функции экспоненциального импульса. Рассмотреть особенности при

7. Представить

8. Представить треугольный импульс как результат свертки двух одинаковых прямоугольных импульсов.

9–10. Воспользоваться формулой Эйлера, теоремой смещения и линейностью ПФ.

11. В прямом ПФ преобразовать подынтегральное выражение так, чтобы можно было воспользоваться табличным интегралом

12. Обозначив представить функцию в виде

15–16. Применить свойства ПФ дифференцирования и умножения на t.

21. Получить выражения для спектра пачки из N прямоугольных импульсов амплитудой E, длительностью и интервалом следования в пачке T, рассматривая пачку как результат стробирования бесконечной последовательности импульсов прямоугольным окном длительностью NT.

Указание. Использовать выражение для спектра периодической последовательности и свойства ПФ для произведения.

22. Изобразить на одном чертеже модули спектров двух последовательностей

23. Найти и изобразить спектр отрезка синусоиды

Обратить внимание на разные уровни боковых лепестков (левого и правого) в спектре.

24. Найти и изобразить спектр отрезка косинусоиды

.

Обратить внимание на разные уровни боковых лепестков (левого и правого) в спектре.

25. Определить значения мнимой и действительной частей коэффициентов Фурье следующих последовательностей:

Ответ:

а) .

б)

в)

26. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных импульсов для случая (меандровая последовательность).

Построить спектральную диаграмму. Определить закон спада максимумов боковых лепестков.

Ответ:

27. Найти спектр функций отсчетов

используемых в теореме Котельникова.

28. Доказать ортогональность функций отсчетов

на бесконечном интервале

Указание. С учетом теоремы запаздывания ПФ определить фурье-образы функций и , а затем воспользоваться обобщённым равенством Парсеваля.

29. Найти и изобразить спектральную плотность группы из дельта-импульсов, расположенных симметрично относительно начала координат. Отметить величины максимумов и их расположение по частотам, а также частоты нулевых значений.

Указание. Воспользоваться формулой суммы членов геометрической прогрессии

,

где – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии.

Ответ:

30. Действительный сигнал имеет финитный спектр

т. е. вне конечного интервала частот, например, Сигнал, дискретизованный в соответствии с теоремой Котельникова с шагом представляется в виде

Получить выражение для спектра дискретизованного сигнала и выразить его через

Указание. Воспользоваться выражением для спектра гребенки Дирака и теоремой о спектре произведения.

31. Показать, что

.

Указание. Разложить в ряд Фурье периодический множитель

32. Показать, что

33. Используя соотношения из задач 31 и 32, проверить следующие формулы Пуассона:

а) б)

в)

34. Используя равенство Парсеваля, проверить утверждение

где

35. Вычислить интегралы:

а) б) в)

36. Пользуясь принципом дуальности ПФ, показать, что

Проверить результат непосредственным вычислением обратного преобразования.

37. В спектральном анализе сигнал часто умножается на так называемую оконную функцию При этом в спектральной области произведению функций будет соответствовать свёртка их фурье-образов:

Простейшее прямоугольное окно имеет фурье-образ со значительным уровнем боковых лепестков, в которые происходит «утечка» спектральной энергии сигнала. В этом смысле относительно хорошим является окно Ханна:

которое называется также «приподнятым косинусным окном». Найти и изобразить соответствующее спектральное окно. Оценить уровень боковых лепестков. Объяснить действие окна в частотной области.

Дата добавления: 2015-11-16