Преобразование Лапласа в линейных системах

Некоторые сигналы, не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости, не могут быть представлены в виде интеграла

Фурье:

т. к. для таких сигналов не определена и не существует спектральная функция Например, для скачка напряжения

спектральная функция

не определена, поскольку при не стремится ни к какому пределу.

Умножим на , где – положительная константа выбирается так, чтобы колебание было абсолютно интегрируемым. Тогда

Для существования интеграла будем считать сигнал каузальным, т. е. при В этом случае

Обратное преобразование имеет вид

Умножим обе части этого выражения на и заменим переменную интегрирования Тогда два последних выражения приобретают вид

Это есть пара одностороннего преобразования Лапласа, которое символически будем обозначать следующим образом:

Функция называется оригиналом, а функция – изображением. Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, в котором достаточно положить. Обратное преобразование осуществляется путём интегрирования в комплексной плоскости вдоль вертикальной прямой (рис. 1.10.1). Путь интегрирования должен проходить правее полюсов

Рис. 1.10.1 Рис.1.10.2

подынтегральной функции Образуем замкнутый контур интегрирования добавлением к прямой дуги бесконечно большого радиуса так, чтобы этот контур охватывал все полюсы подынтегральной функции (рис. 1.10.2). Тогда интеграл превращается в контурный и в соответствии с теоремой Коши о вычетах может быть определен следующим образом:

Правая часть этого выражения равна сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции. Важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура интегрирования.

Пример 1.10.1. Пусть где – фиксированное комплексное число. Наличие функции включения обусловливает равенство при Согласно

При условии числитель обращается в нуль при

В результате получаем соответствие

Полюс в точке

Для действительного экспоненциального импульса

Полюс в точке

Пример 1.10.2. Пусть и Тогда

Функция имеет два полюса в точках

Рис. 1.10.3 и

Положение полюсов показано на рис. 1.10.3.

Дата добавления: 2015-11-16