Гармоническое электромагнитное поле в линейных изотропных средах

Наиболее часто при генерации ЭМ энергии, её преобразовании, передачи и потреблении используется напряжение и ток синусоидальной формы (вращающиеся генераторы электростанций, повышающие или понижающие трансформаторы, высоковольтные линии передач и т.д.). Поэтому поля в которых электрические и магнитные параметры ЭМ полей описываются синусоидальными законами, выделены в отдельный раздел. Гармонические ЭМ поля исследованы достаточно подробно, но здесь мы остановимся только на некоторых достаточно простых случаях взаимодействия ЭМ поля и вещества. На самом деле большинство процессов, которые происходят при генерации, преобразовании и потреблении ЭМ энергии описываются в рамках взаимодействия поля с проводящими средами, при её передачи – с непроводящими средами

§-1 Законы Максвелла в комплексной форме

Электрическое поле, которое изменяется по гармоническому закону, можно описать следующим образом:

где E_m -амплитуда вектора напряженности электрического поля, которая зависит от пространственных координат, - начальная фаза колебаний, - круговая частота.

Замечания:

1. Магнитное поле в линейных изотропных средах можно описать формулой, аналогичной (5.1). Отличаться будут только амплитуда и начальная фаза.

2. Если выражения для электромагнитного поля, которое изменяется по синусоидальному закону, подставить в систему уравнений Максвелла, мы получим систему ДУ, которую будет очень сложно решить.

Для того чтобы облегчить решение этой задачи, воспользуемся методом комплексных амплитуд, который позволяет рассчитывать установившиеся процессы при синусоидальном воздействующим на систему сигнале. При этом сам процесс расчёта проводится в частотной области.

В рамках этого метода величины, изменяющиеся по синусоидальным законам, представляются на комплексной плоскости в виде проекций на реальную ось вращающихся с постоянной скоростью векторов:

Ту часть вращающегося вектора (его длину и начальную фазу), которая не зависит от времени, называют комплексной амплитудой

Используя эти обозначения изменяющуюся по синусоидальному закону напряжённость электрического поля можно записать:

Аналогичным образом в линейных изотропных средах для вектора электрического смещения, напряжённости и индукции магнитного поля можно записать:

Подставим данные выражения в первое уравнение Максвелла. С учётом связи между векторными функциями поля, это уравнение можно записать:

Если реальные составляющие вращающихся векторов равны друг другу, то равны и сами вектора:

Во всех членах уравнения будет присутствовать одинаковый экспоненциальный член, который можно сократить. Тогда полная система уравнений Максвелла, записанная относительно комплексных амплитуд, будет иметь вид:

(5.2)

§-2 Плотность тока проводимости и смещения. Комплексная диэлектрическая проницаемость и тангенс угла потерь.

5.2.1. Плотность тока проводимости и смещения.

Для того чтобы ввести понятия плотности тока проводимости и смещения вначале перепишем систему уравнений (5.2) для идеальной диэлектрической среды ():

Вектор называют комплексной амплитудой плотности тока смешения.

Как видно из этой формулы, в случае идеального диэлектрика комплексная амплитуда плотности тока смещения опережает напряжение электрического поля на 90 градусов. Т.е. ток смещения – чисто ёмкостной ток. Векторная диаграмма для данного случая приведена на рис.5.1

Рис.5.1

В общем случае первое уравнение Максвелла в частотной области имеет вид:

Первый член в правой части этого уравнения описывает плотность тока, совпадающую по фазе с напряжённостью электрического поля, т.е. ток проводимости, второй – ток смещения.

Плотность полного тока представляет сумму двух векторов, перпендикулярных друг другу: . Векторная диаграмма для данного случая приведена на рис.5.2.

Рис.5.2

5.2.2. Тангенс угла потерь.

Угол между плотностью полного тока и тока смещения называют углом потерь .

Замечания:

1. Как видно из рис.5.2, тангенс угла потерь равен отношению модулей плотности тока проводимости и плотности тока смещения:

(5.3)

2. В приведённой выше формуле используются длины векторов (над буквами, обозначающими плотности тока и напряжённость электрического поля нет точек).

3. Тангенс угла потерь – критерий для разделения сред на проводники и диэлектрики. Если - среда хороший проводник. Если - среда хороший диэлектрик.

4. Критерий разделения сред на проводники и диэлектрики включает частоту. Поэтому одна и та же среда при низких частотах может быть проводником, при высоких – диэлектриком.

5.2.3. Комплексная диэлектрическая проницаемость.

Для того чтобы ввести это понятие перепишем первое уравнение Максвелла вынеся за скобку в правой части :

И введём новый параметр - комплексная диэлектрическая проницаемость, которая объединяет три величины: собственно диэлектрическую проницаемость, проводимость среды и частоту ЭМ излучения.

Результат введения комплексной диэлектрической проницаемости – новый вид первого уравнения Максвелла: , которое, с точностью до обозначения, совпадает с уравнением, записанным для идеального диэлектрика.

Замечания:

1. Как любое комплексное число комплексную диэлектрическую проницаемость можно представить в алгебраическом и экспоненциальном виде:

где - модуль комплексной диэлектрической проницаемости, а - её фаза

2. Комплексную диэлектрическую проницаемость можно представить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 5.3).

Рис.5.3

5.2.4. Плотность тепловых потерь в проводящей среде

Мгновенное значение мощности в проводящей среде можно определить по закону Джоуля-Ленца:

Для гармонических сигналов обычно вводится понятие средней мощности за период колебаний, которая равна:

Эту формулу можно переписать, используя выражение (5.3):

(5.4)

Замечания:

1. Формула (5.4) позволяет объяснить процессы, связанные с нагревом диэлектрических сред, обладающих проводимостью (пусть даже очень маленькой). В частности, её используют при расчётах высокочастотного нагрева: тканей человеческого тела (широко используется при особой форме лечения онкологических заболеваний - гипертермии), древесины для её сушки и д.р.

2. Однако даже в идеальном диэлектрике под действием изменяющегося во времени ЭМ поля будет выделяться тепловая энергия. Это эффект можно на примитивном уровне объяснить следующим образом: диполи, из которых состоит диэлектрическая среда, под действием поля поворачиваются. В процессе этих поворотов диполи взаимодействуют друг с другом («трутся друг о друга»). В результате часть энергии «поворота» диполя, т.е. энергии электрического поля, переходит в тепловую энергию атомов и молекул, из которых состоит диэлектрик, а поляризация диэлектрических сред отстаёт по фазе от напряжённости электрического поля. Эта энергия выделяется при любых скоростях изменения внешнего ЭМ поля. Однако её вклад в общий энергетический баланс системы при относительно малых частотах пренебрежимо мал.

3. При синусоидальных сигналах высоких (ВЧ) и сверхвысоких частот (СВЧ) описанный выше механизм «запаздывания» поляризации оказывает существенный вклад общий энергетический баланс системы. Это вклад можно учесть введением комплексную диэлектрическую проницаемость дополнительного члена :

Т.е. «запаздывание» поляризации приводит к появлению дополнительного тока проводимости.

4. Очевидно, что на очень высоких частотах, когда диполи не успевают поворачиваться за время изменения направления поля, относительная диэлектрическая проницаемость среды стремится к 1, а механизм выделения тепла за счёт «запаздывания» поляризации перестаёт работать.

5. Как было показано выше, потери в диэлектрике за счёт «запаздывания» поляризации при низких частотах пренебрежимо малы и растут с частотой. Но на очень высоких частотах они также пренебрежимо малы. Это позволяет утверждать, что подобные потери в диэлектрике носят резонансный характер.

§-3 Электромагнитное поле в идеальном диэлектрике. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца. Плоская электромагнитная волна.

В предыдущем параграфе мы показали, что вид дифференциальных уравнений, записанных для идеального диэлектрика и проводящей среды совпадает с точностью до обозначения. Если вид уравнений одинаков, то и решение этих уравнений будет аналогично и отличаться только обозначениями. Поэтому, в дальнейшем мы достаточно подробно остановимся на решении уравнений в идеальном диэлектрике и обобщим эти решения на проводящие среды.

5.3.1. Волновые уравнения и уравнения Гельмгольца.

Запишем систему уравнений Максвелла для идеального (), однородного ( ) диэлектрика:

Система состоит из четырёх дифференциальных уравнений первого порядка. Такую систему можно свести к двум уравнениям второго порядка. Для этого достаточно продифференцировать первое уравнение, поменять порядок дифференцирования по пространственным и временным координатам и подставить в правую часть полученного выражения данные из второго уравнения:

Но .

Первый член правой части в нашем случае равен нулю. Приравняв эти два выражения, окончательно получим:

(5.5)

Аналогично можно поступить со вторым уравнением. После его преобразования получим:

(5.6)

Уравнения (5.5) и (5.6) называют волновыми.

Замечания:

1. Волновые уравнения описывают изменение напряжённостей электрического и магнитного поля при произвольном законе изменения их источников.

2. Уравнения (5.5) и (5.6) аналогичны. Поэтому для описания электромагнитных процессов в системе достаточно решить только одно из них.

3. В случае, когда все функции поля изменяются по гармоническому закону, для их определения можно использовать метод комплексных амплитуд. Волновые уравнения, записанные относительно комплексных амплитуд параметров, называют уравнениями Гельмгольца:

(5.7)

4. Данную систему уравнений можно переписать, введя в рассмотрение волновое число ():

5.3.1. Плоская электромагнитная волна.

Получим решение одного из уравнений Гельмгольца в простейшем одномерном случае. Пусть напряжённость электрического поля зависит только от времени и координаты z. Тогда уравнение Гельмгольца можно записать в виде:

(5.8)

Характеристический полином для данного уравнения будет иметь вид:

Его корни – два чисто комплексных числа . Решение данного уравнения:

(5.9)

Рассмотрим первое слагаемое решения и запишем его во временной области. С учётом того, что мнимый показатель степени экспоненты описывает начальную фазу синусоидального колебания, получим:

(5.10)

Замечания:

1. Амплитуда синусоиды не зависит от пространственной координаты. Т.е. амплитудно-пространственная характеристика, которую можно ввести по аналогии с амплитудно-частотной характеристикой, будет представлять линии параллельную оси 0z.

2. Фаза синусоиды будет линейно уменьшаться с ростом z. Т.е. фазопространственная характеристика (аналогичная фазочастотной характеристике) будет линейной. Разность фаз между двумя точками пространства (z₁ и z₂): , а тангенс угла наклона этой характеристики равен волновому числу.

Проведём анализ поведения вектора напряжённости электрического поля во времени пространстве.

Вначале, зафиксируем координату (). При этом изменение напряжённости поля во времени будет подчиняться синусоидальному закону с периодом

T

t

Рис. 5.4

Зафиксируем момент времени . При этом изменение напряжённости поля в пространстве так же будет подчиняться синусоидальному закону. Период этой синусоиды - длина волны электромагнитного излучения :

Рис. 5.5

Замечания:

1. Выражение под знаком косинуса в формуле (5.8) называют фазой волны:

2. Для произвольного момента времени всегда можно определить поверхность равных фаз, т.е. поверхность для которой Ф=const. Эта поверхность называют фронтом волны.

3. В рассматриваемом случае () фронт волны – поверхность перпендикулярная оси 0z. Волну с таки фронтом называют плоской.

4. С изменением времени фронт волны, которая описана выражением (5.10), смещается в положительном направлении оси z.

5. Скорость движения фронта волны – фазовая скорость волны. Эту скорость можно найти взяв производную от фазы волны по времени и приравняв её нулю: . Здесь - фазовая скорость волны.

6. Фазовая скорость волны зависит от свойств материала, в котором она распространяется: .

7. В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света: .

8. Для случая, который описывается выражением (5.10), фазовая скорость больше нуля, т.е. волна распространяется в положительном направлении оси z. Такая волна называется прямой.

9. Легко показать, что второй член в решении дифференциального уравнения (5.8): , описывает волну фазовая скорость которой будет меньше нуля. Т.е. этот член описывает распространение волны в отрицательном направлении оси z. Такая волна называется обратной.

10. Решение уравнения Гельмгольца – представляет собой сумму прямой и обратной волн.

При произвольном направлении движения плоской волны, комплексную амплитуду прямой волны можно представить в виде:

где - волновой вектор, который указывает направление движения волны , - единичная нормаль к фронту волны.

В декартовой системе координат это выражение можно представить через проекции волнового вектора на соответствующие оси:

5.3.3. Действие оператора набла на комплексные амплитуды.

При рассмотрении задач расчёта ЭМ полей часто используют оператор Гамильтона (набла). Этот оператор в декартовой системе координат - . Это векторный дифференциальный оператор, с помощью которого можно записать все основные операции векторного анализа. Он приобретает физический смысл только в сочетании с функцией, к которой он применяется.

Замечания:

1. Векторное произведение оператора набла на векторную функцию позволяет получить ротор данной функции, скалярное произведение – дивергенцию функции.

2. Векторное произведение оператора набла на скалярную функцию позволяет получить градиент данной функции.

С учётом приведённых выше замечаний систему уравнений Максвелла можно представить в следующем, необычном виде:

Посмотрим, как оператор набла действует на комплексные амплитуды. Для этого распишем сначала скалярное, а затем векторное произведение этого оператора на комплексную амплитуду напряжённости электрического поля при произвольном направлении движения электромагнитной волны:

(5.11)

(5.12)

Т.о. мы получили, что действие оператора набла на КА эквивалентно умножению этой КА на минус комплексную единицу и волновой вектор.

§-4 Свойства электромагнитных волн в идеальном диэлектрике.

Запишем систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд с помощью волнового вектора с учётом (5.11) и (5.12)

(5.13)

Данная запись свидетельствует о том, что вектора перпендикулярны друг другу и образуют правую тройку векторов (рис.5.6). Т.е. в свободном пространстве электромагнитная волна – поперечная (напряжённости поля перпендикулярны направлению распространения волны). Такую волну называют ТЕМ-волна (transverse electromagnetic mode).

Рис.5.6.

Отношение комплексных амплитуд напряжённостей электрического и магнитного поля, в общем случае, является комплексной величиной, которую называют волновым сопротивлением среды:

Замечания:

1. В теории электрических цепей аналогом волнового сопротивления является комплексное сопротивление двухполюсного элемента: .

2. Получить математическое выражение для волнового сопротивления можно преобразовав второе уравнение Максвелла:

Т.о. волновое сопротивление идеального диэлектрика – чисто вещественная величина, которая не зависит от частоты поля.

3. Т.к. волновое сопротивление идеального диэлектрика – чисто вещественная величина то напряженности электрического и магнитного полей совпадают по фазе. Для одномерного случая можно записать:

4. Волновое сопротивление вакуума -

Одним из важнейших характеристик электромагнитных волн являются плотность энергии. Плотность энергии электрического поля можно найти из формулы:

где - максимальное значение плотности энергии электрического поля.

Плотность энергии магнитного поля равна:

где - максимальное значение плотности энергии магнитного поля.

Изменение плотности энергии в зависимости от времени, приведено на рис. 5.7.

Рис.5.7.

Преобразуем формулу для максимального значения плотности энергии магнитного поля, выразив напряжённость магнитного поля через напряжённость электрического и волновое сопротивление, и подставим значение этого сопротивления, выраженное через параметры среды:

Полученное выражение свидетельствует о том, что в идеальном диэлектрике плотность энергии электрического и магнитного поля одинаковы.

Замечания:

1. Плотность электромагнитной энергии:

2. Среднее значение плотности энергии в произвольной точке пространства:

Другой, не менее важной характеристикой электромагнитной волны, является вектор Пойнтинга. С помощью этого вектора принято характеризовать количество и направление движения электромагнитной энергии в системе. Для определения вектора Пойнтинга обычно используют выражение: , из которого следует, что направление данного вектора перпендикулярно напряжённостям электрического и магнитного поля. Т.е. направление распространения волны, которое описывается волновым вектором, и направление движения её фронта, которое описывается вектором Пойнтинга – совпадают (рис.5.8).

Рис.5.8.

Замечания:

1. Мгновенное значение вектора Пойнтинга можно найти по формуле:

2. Среднее значение вектора Пойнтинга в произвольной точке пространства:

3. Скорость распространения энергии электромагнитного поля () можно определить, приравняв среднее значение вектора Пойнтинга к произведению среднего значения электромагнитной энергии на скорость её распространения: .

Отсюда скорость распространения энергии равна:

Т.е. скорость распространения энергии равна фазовой скорости волны, или скорость распространения энергии совпадает со скоростью распространения волны.

Тема 6.

---

Дата добавления: 2015-11-16