Гармоническое электромагнитное поле в линейной однородной проводящей среде. Комплексное волновое число.

§-1 Уравнения Гельмгольца для линейных проводящих сред. Комплексное волновое число.

Как было показано выше (5.2.3), для синусоидального воздействия в терминах комплексных амплитуд форма записи системы уравнений Максвелла в идеальном однородном диэлектрике и в однородной проводящей среде совпадают. Отличие только в том, что в первом уравнении Максвелла диэлектрическая проницаемость среды становится комплексной величиной .

Для проводящей среды можно выполнить действия аналогичные тем, которые были проведены в п. 5.3.1 для диэлектриков. В результате – получим уравнения Гельмгольца для проводящих сред:

Данную систему уравнений можно переписать, введя в рассмотрение новую комплексную величину - комплексное волновое число:

(6.1)

Поскольку математическая форма уравнений для диэлектрика и проводника одинакова то и решение этих уравнений будет иметь одинаковую математическую форму. Отличаться будут лишь коэффициенты экспоненты решения общего вида (5.9).

Тогда решение одного из уравнений Гельмгольца в простейшем одномерном случае можно записать в виде:

Представим комплексное волновое число в алгебраическом виде:

Рассмотрим первое слагаемое решения и запишем его во временной области. С учётом того, что мнимый показатель степени экспоненты описывает начальную фазу синусоидального колебания, получим:

(6.2)

Сравнение данного выражения с (5.10) позволяет утверждать, что:

Ø реальная часть комплексного волнового числа играет роль аналогичную обычному волновому числу в диэлектрике,

Ø мнимая часть - коэффициент затухания, описывает скорость уменьшения амплитуды синусоиды по мере отдаления от поверхности проводника (рис.6.1):

 

Рис.6.1

Замечания:

1. Выражение (6.2) – описывает только часть общего решения уравнения Гельмгольца. Другая часть – отличается только знаком перед . Памятуя об этом, в дальнейшем, мы будем рассматривать только первую часть решения.

2. В технических приложениях часто используют понятие глубины проникновения. Глубина проникновения – расстояние от поверхности материала, на котором амплитуда падающей на эту поверхность волны уменьшается в е раз, т.е. это величина обратно пропорциональная коэффициенту затухания - .

Выразим вещественную и мнимую часть комплексного волнового числа через свойства среды и частоту питающего напряжения:

Приравняем отдельно вещественные и мнимые части правой и левой части данного выражения:

Решив данную систему алгебраических уравнений, получим выражения для вещественной и мнимой части комплексного волнового числа:

(6.3)

(6.4)

§-2 Свойства электромагнитных волн в проводящих средах.

6.2.2. Волновое сопротивление проводящих сред.

Зная свойства материала на определённой частоте, можно определить мнимую (6.3) и вещественную (6.4) составляющие комплексного волнового числа и построить график изменения напряжённости поля. Этот график – графическое представление решения уравнения Гельмгольца для однородного проводящего материала в одномерном приближении. Данное решение имеет вид затухающей экспоненты, внутрь которой вписана косинусоида. График полученной функции приведён на рис. 6.2.

Важной характеристикой любого материала является его волновое сопротивление (5.14). Для проводящей среды его можно выразить следующим образом:

 

Рис.6.2

Замечания:

1. В данном выражении - угол между напряжённостью электрического и магнитного поля, - угол потерь;

2. Волновое сопротивление проводящего материала – комплексная величина, которая зависит от частоты поля (от неё зависит комплексная диэлектрическая проницаемость);

3. По значению углов и можно оценить, к какому классу на данной частоте относится исследуемый материал. Если - материал идеальный диэлектрик, - идеальный проводник;

4. Т.к. волновое сопротивление проводящего материала – комплексная величина, то напряженность электрического отстаёт на угол от напряжённости магнитного поля:

Кстати:

Ø Длина волны электромагнитного излучения в среде зависит от её свойств. Т.е при одной и той же его частоте 100 МГц, что соответствует длине волны в вакууме – 3 м, длинна волны в озёрной воде будет составлять 0.33 м, в морской – 0.14 м.

Ø При частоте 100 МГц озёрная вода остаётся хорошим диэлектриком (), морская вода становится хорошим проводником ().

Ø Глубина проникновения электромагнитного излучения частотой 100 МГц в озёрную воду – 4.8 м, морскую – 0.025 м.

6.2.2. Энергетические соотношения.

Плотность энергии электрического поля можно найти из формулы:

где - максимальное значение плотности энергии электрического поля.

Плотность энергии магнитного поля равна:

Преобразуем формулу для максимального значения плотности энергии магнитного поля, выразив напряжённость магнитного поля через напряжённость электрического и волновое сопротивление, и подставим значение этого сопротивления, выраженное через параметры среды:

Аналогично для электрического поля:

Но модуль комплексной диэлектрической проницаемости проводящих сред значительно больше самой диэлектрической проницаемости (, т.к.

, а для проводящих сред ).

Замечания:

1. Полученное выражение свидетельствует о том, что в проводящей среде плотность энергии магнитного поля значительно больше плотности энергии электрического поля.

2. Плотность электромагнитной энергии: .

3. Вектор Пойтинга в проводящей среде можно найти из выражения . Направление данного вектора перпендикулярно напряжённостям электрического и магнитного поля и совпадает с направлением распространения волны.

4. Мгновенное значение вектора Пойтинга можно найти по формуле:

5. Среднее значение вектора Пойтинга в произвольной точке пространства:

§-3 Свойства электромагнитных волн в хороших проводниках.

В проводящей среде плотность тока проводимости значительно больше чем тока смещения . Это позволяет пренебречь реальной частью комплексной диэлектрической проницаемости () и считать её чисто мнимой величиной: .

В этом случае волновой вектор можно будет найти из выражения:

Замечания:

1. Для хороших проводников мнимая и вещественная части комплексного волнового числа равны друг другу:

2. Глубину проникновения электромагнитной волны в хороший проводник можно определить по формуле:

, где - удельное сопротивление среды, - циклическая частота.

3. Длина волны электромагнитного излучения:

т.е. длина волны в хорошем проводнике зависит от частоты электромагнитного сигнала, его удельного сопротивления и магнитной проницаемости

4. Принято считать, что волна практически затухает на расстоянии равном трём глубинам проникновения, а длина волны её в проводнике равна . В результате – до затухания волны помещается только половина её периода, т.е. половина периода синусоиды. Т.е. поле в хороших проводниках – квазиволновое (рис.6.3).

5. Волновое сопротивление хорошего проводника:

6. Фазовая скорость волны в хорошем проводнике:

, т.е. скорость распространение волны в хорошем проводнике зависит от частоты электромагнитного сигнала.

 

Рис.6.3

Кстати:

Ø Длинна волны электромагнитного излучения при частоте 50 Гц в вакууме 6000 км, на той же частоте в меди – 0,06 м;

Ø Скорость распространения волны в меди на частоте 50 Гц – 2.97 м/с, на частоте 10000 Гц – 42 м/с;

Ø Глубина проникновения излучения в медь на частоте 50 Гц – 9.5 мм, на частоте 10000 Гц – 0.66 мм;

Ø Волновое сопротивление меди на частоте 50 Гц – Ом, на частоте 10000 Гц – Ом;

Ø В идеальном проводнике , а, следовательно, глубина проникновения, скорость распространения и модуль комплексного сопротивления стремятся к нулю. Т.о. в идеальном проводнике гармонического поля не существует.

§-4 Металлическая пластина в гармоническом электромагнитном поле. Поверхностный эффект.

Пусть нам дана относительно тонкая металлическая пластина. Это условие предполагает, что толщина пластины значительно меньше её габаритных размеров (). Эта пластина находится в электромагнитном поле, которое изменяется по гармоническому закону (рис.6.4). Известны: параметры сред, частота, с которой изменяется поле (), максимальное значение напряжённости магнитного поля (). Направление вектора напряжённости магнитного поля параллельно плоскости боковой поверхности пластины.

Рис.6.4

Необходимо определить распределение напряжённости магнитного и электрического поля по глубине пластины.

1. Предварительный анализ задачи.

Ø Мы рассматриваем линейные изотропные среды. Следовательно, все электрические и магнитные параметры изменяются по синусоидальным законам;

Ø Нас интересует поля в проводящей среде, в которой основная часть энергии сосредоточенна в магнитном поле. Поэтому естественно решать поставленную задачу относительно напряжённости магнитного поля;

Ø Распределение напряжённости гармонического магнитного поля подчиняется уравнению Гельмгольца:

,

где - комплексное волновое число, которое, в данном случае, удобно записать через глубину проникновения поля в виде: .

Ø Т.к. по условию задачи толщина пластины значительно меньше её габаритных размеров, мы можем ограничиться решением одномерного уравнения Гельмгольца:

Ø На поверхности пластины задано значение напряжённости магнитного поля. Это значение напряжённости является граничным условием для решения задачи.

2. Решение задачи.

Результат решения одномерного уравнения Гельмгольца – две затухающие волны, направленные навстречу друг другу по оси 0z:

Постоянные интегрирования А и В можно определить из граничных условий. В точках с координатами напряжённость магнитного поля равна . Эти условия можно переписать:

В этом случае, очевидно, что постоянные интегрирования равны друг другу и их можно определить по формуле:

Окончательно для распределения комплексной амплитуды напряжённости магнитного поля в металлической пластине, получим:

(6.5)

3. Качественный анализ полученного результата.

Ø Амплитуда напряжённости магнитного поля максимальна на поверхности пластины и уменьшается внутри неё. Этот эффект называют поверхностным эффектом.

Ø Параметром, который определяет скорость уменьшения напряжённости поля внутри пластины, является отношение её полуширины к глубине проникновения электромагнитного излучения .

Ø На низких частотах , изменение числителя в формуле (6.5) в пределах практически не происходит. Напряжённость поля внутри пластины не изменяется. Поверхностный эффект не наблюдается (рис.6.5);

Ø На относительно высоких частотах, когда полуширина пластины сравнима с глубиной проникновения электромагнитного излучения () наблюдается не яркий поверхностный эффект (рис.6.5);

Ø На высоких частотах, когда полуширина пластины значительно больше глубины проникновения электромагнитного излучения () наблюдается яркий поверхностный эффект (рис.6.5), при котором магнитное поле сосредоточенно только в узком, приповерхностном слое пластины, а внутри пластины поля практически нет.

4. Анализ распределения напряжённости электрического поля в рассматриваемой пластине.

Ø Электрическое поле в пластине обусловлено изменением во времени магнитного поля, т.е. оно чисто вихревое. Комплексную амплитуду напряжённости электрического поля можно найти из решения первого уравнения Максвелла. Для проводящего материала в этом уравнении можно пренебречь током смещения и записать его в виде: .

Ø Тогда, в одномерном случае комплексную амплитуду напряжённости электрического поля можно найти, взяв частные производные от напряжённости магнитного поля по пространственным координатам: . С учётом того, что в нашей задаче отсутствует z составляющая напряжённости магнитного поля, окончательно получим: . Линии напряжённости электрического поля приведены на рис.6.6.

Ø Под действием вихревого электрического поля в проводнике будет течь ток (рис.6.6), который называется вихревым. Протекания тока по проводнику сопровождается потерей энергии электромагнитного поля (переходом части этой энергии в тепло). Этот эффект лежит в основе отдельной области электротехнологии – индукционного нагрева проводящих материалов токами высокой частоты (ТВЧ).

Ø В основу теории индукционного нагрева положено решение уравнения Гельмгольца для проводящих сред (6.1).

Ø Индукционный нагрев используется при разных видах термообработки и плавки металлов, плавке кремния, остекловывании радиоактивных отходов, плазмохимических технологиях и др.

Замечания:

1. На низких частотах , изменение напряжённости магнитного поля в пределах практически не происходит. Следовательно, напряжённость электрического поля и, связанная с нею плотность тока проводимости, – практически постоянные величины. Т.е. ток заполняет всё сечения проводника. А для расчёта сопротивления проводника можно использовать хорошо знакомую формулу , где - удельное сопротивление материала проводника, l и S – его длина и поперечное сечение.

2. На высоких частотах , изменение напряжённости магнитного поля происходит только в тонком при поверхностном слое. Следовательно, напряжённость электрического поля и, связанная с нею плотность тока проводимости, – изменяются только в этом слое (ток течёт только по «шкурке» проводника). В этом случае точный расчёт сопротивления проводника – трудоёмкая задача. Для оценки – можно воспользоваться формулой:

Дата добавления: 2015-11-16