Восстановление сигналов по их отсчётам

Идеальная интерполяция. Формула Котельникова (2.3.5) означает, что значения сигнала с ограниченным спектром между отсчётными точками можно определить по значениям путём интерполяции с использованием функций как показано на рис. 2.5.1.

Рис. 2.5.1. Интерпретация формулы Котельникова

как интерполяционной формулы

Как уже отмечалось в п. 2.3, восстановление исходного аналогового сигнала по его выборкам в принципе может быть осуществлено с помощью идеального фильтра нижних частот (ИФНЧ) с импульсной реакцией

имеющей бесконечную протяженность (рис. 2.5.2а). При этом на вход такого фильтра подается последовательность

равноотстоящих импульсов с площадями (рис. 2.5.2б). Интерполяционная формула Котельникова (2.3.5) есть по существу результат свертки

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, получаем:

а)

б)

Рис. 2.5.2. а – импульсная характеристика ИФНЧ без задержки и с задержкой; б – схема восстановления аналогового сигнала

Поскольку при то ИФНЧ не является каузальным, а потому физически нереализуем. Простым введением задержки эту проблему решить нельзя. Не существует таких значений для которых была бы строго равна нулю при

Рис. 2.5.3. Действие ИФНЧ в спектральной области

В спектральной области действие ИФНЧ иллюстрирует рис. 2.5.3. Частотная характеристика ИФНЧ за пределами полосы Норберт Винер сказал по этому поводу следующее: «Ни один из фильтров, отвечающих условию причинности, не может иметь бесконечного затухания в конечной (ненулевой) полосе частот. Идеальный фильтр физически неосуществим из-за самой его сущности, а не по причине отсутствия необходимых технических средств». Этот вывод вытекает из известной теоремы Винера–Пэли, которая утверждает, что если импульсная характеристика интегрируема в квадрате и отвечает условию причинности, то

Обратно, если АЧХ фильтра интегрируема в квадрате, а интеграл расходится, то условие не может быть выполнено для всех независимо от вида фазочастотной характеристики Теорема Винера–Пэли утверждает также следующее: пусть задана интегрируемая в квадрате функция для которой выполняется, тогда существует функция такая, что является преобразованием Фурье физически осуществимой

Реальные фильтры. Требования к восстанавливающему филь-тру можно существенно ослабить, если выбором обеспечить

В этом случае спектр дискретизованного сигнала представляется в виде (рис. 2.5.4)

Рис. 2.5.4

Наличие свободного интервала упрощает реализацию фильтра, т.к. устраняется необходимость резкой отсечки в частотной характеристике (рис. 2.5.4). По этой причине на практике шаг дискретизации выбирается так, чтобы

При этом если выполняются условия

то спектр а потому и сам сигнал восстанавливается точно. Однако по теореме Винера–Пэли для любого реального фильтра третье условие точно не выполняется, т.е. при Поэтому на выход такого фильтра пройдут спектральные компоненты выше частоты от соседних частичных спектров. Кроме того, реальный восстанавливающий фильтр практически всегда отличается некоторой неравномерностью модуля и нелинейностью фазовой характеристики в полосе (рис. 2.5.5). Всё это приводит к тому, что выделенный фильтром

Рис. 2.5.5

спектр не совпадает с исходным т. е. и восстановленный сигнал будет отличаться от На рис. 2.5.5 идеальные АЧХ и ФЧХ отмечены цифрой 1, а реальные цифрой 2.

Дата добавления: 2015-11-16