Для анализа цепей

Рассмотрим простейшие двухполюсные элементы

Рис.1.10.4

Основные соотношения для этих элементов:

или

или

не зависит от ; не зависит от

В области изображений резистор описывается соотношением

где и – пары преобразования Лапласа.

Чтобы получить эквивалентные соотношения для ёмкости и индуктивности, нам потребуется теорема дифференцирования. Пусть

тогда

Доказательство теоремы простое:

Применяя эту теорему, находим эквивалентные соотношения для ёмкости и индуктивности в области изображений:

или

или

Из видно, что в частотной области ёмкость представляется в виде импеданса последовательно с которым включён источник «напряжения» отражающий её начальное состояние. Аналогично, из заключаем, что в частотной области индуктивность представляется импедансом с параллельно включённым «источником тока» отражающим её начальное состояние. Эти представления элементов в частотной области изображены на рис. 1.10.5.

Рис. 1.10.5

В результате таких представлений для линейных инвариантных во времени цепей (ЛИВ-цепей) получается система алгебраических уравнений, которые в решении и интерпретации значительно проще дифференциальных уравнений. Приведём несколько примеров.

Пример 1.10.5. Рассмотрим цепь первого порядка, на которую действует скачок тока (рис. 1.10.6 а). Требуется найти отклик .

а) б)

Рис. 1.10.6.

Изображение этой цепи в частотной области (рис.1.10.6 б) позволяет записать следующее уравнение:

Здесь использован тот факт, что

Решая относительно находим

Эта функция имеет два полюса: и Вычеты в этих точках соответственно будут и Используя формулы Хевисайда и, получаем окончательно

График этой функции представлен на рис. 1.10.6 в.

Рис. 1.10.6 в. Переходная характеристика цепи, изображённой на рис. 1.10.6 а

Дата добавления: 2015-11-16