Метод рядов Фурье

Как и при проектировании БИХ фильтров при заданной частоте дискретизации входного сигнала F_s, аналоговая частота f в герцах связана с цифровой частотой l сотношением: l=2pf/F_s.

Пусть — требуемая комплексная частотная характеристика, которая может быть задана в виде действительной и мнимой частей и амплитудно- и фазо-частотной характеристик.

Обозначим действительную и мнимую составляющие состветственно R(l) и I(l), т.е. = R(l)+I(l). Для действительной импульсной характеристики R(l) является четной функцией от l и может быть разложена в ряд Фурье, который имеет только синусные члены:

Используя элементарные равенства

можно заменить синусные и косинусные члены в рядах Фурье членами со степенями z. Используя указанную замену представим в виде ряда по степеням z, а именно:

Так как импульсная характеристика является конечной, ряд усекается при n=N для получения апроксимационного полинома K_N(z):

Очевидно, что K_N(z) можно определить как полином от внутри скобок, так как множитель определяет просто опережение на N выборок. В результате

(*)

Из сопоставления исходного (первого) выражения для K(z) и полученного, нетрудно найти связь значений h_k с коэффициентами a_k и b_k, которая имеет вид:

h_k=(a_N-K+b_N-K)/2 0£ K£ N-1;

h_N=a₀ k=N;

h_K=(a_K-N+b_K-N)/2 N£ K£ 2N.

Функция K(z), заданная с помощью ряда (*), аппроксимирует требуемую , за исключением задержки , которая в частотной области соответствует линейному фазовому сдвигу и зачастую может не учитываться.

Процедура проектирования начинается с определения действительной и мнимой составляющих требуемой комплексной частотной характеристики, что также эквивалентно определению амплитудно и фазо-частотных характеристик.

Часто на практике ФЧХ не имеет значения и специально не оговаривается. В этих случаях для простоты можно положить нулевую мнимую часть I(l), что соответствует нулевой ФЧХ. При этом все коэффициенты b_K равны нулю. В этом случае нетрудно видеть, что импульсная характеристика является симметричной, т.е. h_K=h_2N-K.

Подобное упрощение допустимо и в тех случаях, когда в комплексной частотной характеристике фильтра требуется нулевая действительная часть, как например, идеального дифференциатора.

Для иллюстрации приведенного подхода рассмотрим два примера. В первом примере действительная и мнимая части требуемой равны:

R(l)=1-|l|/p |l|£p;

I(l)=0

Таким образом, R(l) соответствует ФЧХ. Разложение в ряд Фурье для R(l) известно и имеет вид:

Таким образом, на основании вышеприведенного

.

Учитывая этот ряд при n=2, получим нерекурсивный фильтр:

ФЧХ фильтра является действительной и приведена на рис. 5.1.

Рис. 5.1.

Второй пример иллюстрирует проектирование фильтра НЧ с частотой среза при l=p/3. Таким образом, R(l)=1 для / l / <p/3 и R(l)=0 в противном случае, I(l)=0. Ряд Фурье для R(l) имеет вид:

Усекая ряд до 11 членов и поступая, как ранее, получаем:

АЧХ этого фильтра приведена на рис. 5.2:

Рис. 5.2.

Из рисунка видно, что частота среза рассматриваемого фильтра совпадает с заданной, однако в полосе затухания АЧХ синтезированного фильтра отлична от идеальной (нуля). Это связано с наличием так называемых колебаний Гиббса вокруг значения L_c, возникающих вследствие разрывов в задании . Указанные колебания называются также боковыми лепестками.

Общепринятый подход к расчету КИХ фильтров состоит в аппроксимации импульсной характеристики бесконечной длительности идеального фильтра импульсной характеристикой конечной длительности. Непосредственное усечение идеальной характеристики эквивалентно умножению на прямоугольное временное окно, в результате чего в частотной области имеет место явление Гиббса, проявляющееся в нежелательных выбросах в точках резких переходов идеальной частотной характеристики.

Умножение импульсной характеристики на временное окно соответствует свертке частотной характеристики с преобразованием Фурье для окна. Тщательный выбор формы окна позволяет сгладить частотную характеристику и значительно уменьшить пульсации.

Функция окна W(l) порядка M может быть задана и в частотной области(?):

Этой функции соответствует достаточно узкий импульс. Обычно, используемым окном является функция Хэмминга, для которой {W_k} задается с помощью выражения:

Связка в частотной области c W(l) эквивалентна умножению каждого h_k на соответствующее значение W_k. Поэтому, результирующая импульсная характеристика равна {h_kW_k}, где {h_k} - импульсная характеристика фильтра, полученная на предыдущем этапе проектирования.

При этом, модифицированная передаточная функция равна:

.

AЧХ фильтра, использующее весовое окно Хемминга, показана на рис. 5.3:

Рис. 5.3.

Из рисунка видно, что АЧХ имеет более низкий уровень боковых лепестков в полосе затухания. Однако, ее переходная область не такая крутая, как ранее.

Дата добавления: 2015-11-14