Проектирование рекурсивных фильтров нижних частот.

Типичная АЧХ ФНЧ показана на рисунке 3.1.

Рис. 3.1.

Полоса пропускания лежит в пределах от l=0 до частоты среза L_С, а полоса затухания лежит в пределах от l=L_Sдо l=p. Показана только область положительных частот, т.к. АЧХ фильтра является симметричной. Полоса частот L_С<l<L_Sявляется переходной.

Задание на проектирование включает допустимые пределы d₁в полосе пропускания и d₂в полосе затухания, а также сами частоты Lс и Ls, определяющие границы полосы пропускания и затухания соответственно.

Целью проектирования является определение передаточной функции К(z) такой, чтобы соответствующая АЧХ ½К(еj×l)½удовлетворяла условиям:

1- d₁£½К(еj×l)½£1+d₁ для 0£l£Lc

и

½К(еj×l)½£d₂ для p³l³Ls.

Связь между аналоговыми и цифровыми частотами с учетом рассмотренных выше соотношений имеет вид для частоты среза и частоты затухания соответственно:

Гц.;

Гц.

Эти значения показаны на рисунке в виде соответствующих точек на частотных осях.

Одним из распространенных методов проектирования является выбор соответствующего аналогового фильтра нижних частот и применение частотного преобразования к его передаточной функции с тем, чтобы получить требуемую функцию К(z).

В качестве аналоговых фильтров наиболее часто используются фильтры: Баттерворта, Чебышева, Кауэра (эллиптические фильтры).

Фильтры Баттерворта, как уже отмечалось, имеют максимально плоскую амплитудную характеристику, их полюсы равномерно расположены на единичной окружности в р-плоскости.

Фильтры Чебышева имеют равновеликие пульсации АЧХ в полосе пропускания (или в полосе затухания), их полюсы расположены на эллипсе в р -плоскости.

Фильтры Кауэра (эллиптические фильтры) имеют равновеликие пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе затухания.

Для иллюстрации процедуры проектирования рассмотрим фильтр НЧ Баттерворта третьего порядка с передаточной функцией

Его АЧХ равна

где частота среза на уровне - 3 дб нормирована и приведена к w=1.

Если Ws£w£¥, то ½К(j×w)½ < (1+Ws⁶)^-1/2 в этой полосе.

Теперь рассмотрим преобразование частотное значение w к значениям l, заданное с помощью соотношения

(*)

Зависимость l от w, соответствующая этому преобразованию, изображена на рисунке 3.2 и, как это видно из рисунка, является монотонно возрастающей.

Рис. 3.2.

В результате преобразования полубесконечный интервал аналоговых частот 0£w<¥ отображается в интервал цифровых частот 0£l£p, при этом частота w=1 соответствует l=Lс.

Преобразуя передаточную функцию аналогового фильтра К(j×w) с помощью рассмотренного нелинейного преобразования получим функцию |К(еjl)| от l, являющуюся АЧХ ФНЧ.

При р=j×w и z=ejlрассматриваемые нелинейные преобразования можно представить в виде:

где с=ctg(Lc/2).

Выражение для К(р) теперь можно записать в терминах z, используя затем , в результате получим:

где константы определяются с помощью выражений:

Полученная функция Н(z) является рациональной функцией от z, следовательно, она может рассматриваться как передаточная функция БИХ цифрового фильтра.

Из предыдущего обсуждения следует, что ее амплитудная характеристика |К(еjl)| для 0£l£p определяется характеристикой |Ка(j×l)| для 0£w£¥ после ее преобразования с помощью соотношения (*).

Полоса затухания цифрового фильтра К(z) лежит в пределах от l=Lsдо l=p, где Lsсвязана с полосой затухания аналогового фильтра Wsсоотношением (*), т.е.

Таким образом, в полосе затухания амплитудная характеристика удовлетворяет условию:

Преобразование является билинейным преобразованием комплексных переменных p и z. Оно отображает левую половину р-плоскости внутри единичной окружности |z|=1, при этом, как отмечено выше, интервал 0£w£¥ преобразуется в интервал 0£l£p. Таким образом устойчивая Ка(р) дает устойчивую К(z).

Таким образом, в процедуре проектирования цифровых фильтров по методу частного преобразования аналоговых прототипов можно выделить следующие основные четыре этапа:

1. По частоте дискретизации Fs, заданной аналоговой частоте fcи аналоговой граничной частоте затухания fsопределяются цифровая частота среза Lcи цифровая граничная частота полосы затухания Lsс помощью соотношения Lс=2×p×fc/Fsи Ls=2×p×fs/Fs. Этот шаг не является обязательным, если, техническое задание на проектирование заранее сформулировано в терминах цифровой частоты l.

2. Определяется граничная частота полосы затухания Wsаналогового фильтра из соотношения:

3. По найденным параметрам частотной характеристики определяется аналоговый фильтр с передаточной функцией Ка(р).

4. Функция Ка(р) преобразуется с помощью подстановки , в результате определяется требуемая передаточная функция цифрового фильтра К(z).

Дата добавления: 2015-11-14