Реализация цифровых фильтров, на регистрах с конечной длиной слова

Как уже отмечалось, точность процессоров цифровой обработки информации ограничена вследствие того, что все вычислительные элементы оперируют с конечным числом бит.

Рассмотрим влияние конечной длины слова на простом примере фильтра второго порядка с нулями в точках и полюсами в точках или 0.6363961 j 0.6363961 (рис.1.9).

Рис.1.9 Пример расположения нулей и полюсов ЦФ в комплексной плоскости.

Передаточная функция этого фильтра равна:

При этом n- я выходная выборка вычисляется с помощью разностного уравнения

y_n=S_n-S_n-2+1.2727922*y_n-1-0.81y_{n-2 (*)}

Для того чтобы реализовать этот фильтр, используем устройство, показанное на рисунке 1.10:

Рис.1.10. Основные элементы реализации цифрового фильтра

Рассматриваемое устройство состоит из четырех основных частей: память для запоминания коэффициентов фильтра, регистров данных для запоминания входных и выходных выборок, арифметического устройства для выполнения вычислений в соответствии с разностным уравнением фильтра (*) и устройства управления для обеспечения синхронизации и управления.

Рассмотрим кратко некоторые аспекты влияния конечной длины слова.

(1) Прежде всего, все числа, используемые в ЦФ, должны быть представлены в двоичной форме.

Коэффициенты:

Коэффициент 0.81 можно записать в двоичной системе как 0.110011110101..., то есть:

В большинстве случаев для представления таких коэффициентов необходимо бесконечное число бит. Так как ЗУ имеет конечную разрядность, то бесконечный двоичный ряд должен быть преобразован в конечный. Пусть память, используемая для реализации фильтра, имеет 6 бит для каждого слова. Простым преобразованием является сохранение только 6 старших значащих бит, т.е. использование числа 0.11011 в качестве приближенной величины 0.81. Однако 0.110011 в двоичной системе представляет число 0.78128, которое отличается от требуемого коэффициента 0.81. Это вносит погрешность в АЧХ фильтра. Аналогично коэффициент 1.2727922 1.010001011101, имеет 6-битовое приближение, равное 1.01000 или 1.25, что так же дает ошибку в АЧХ фильтра. Коэффициенты или 0 могут быть представлены точно (для данного случае). Таким образом, вместо исходного разностного уравнения соотношения вход-выход фактической реализации фильтра равно:

y_n=S_n-S_n-2+1.25*y_n-1-0.78125*y_n-2

и соответствующим образом изменяется передаточная функция ЦФ. Хотя нули в этом фильтре остаются неизмененными, полюса сдвигается в точки

Следовательно полученные АЧХ фильтра будут отличаться от АЧХ первоначального фильтра. Это иллюстрируется на рис.1.11, где кривые 1 и 2 соответствуют АЧХ фильтра до и после квантования коэффициентов соответственно.

Рис.1.11 Амплитудно-частотная характеристика фильтра до (кривая 1) и после квантования коэффициентов (кривая 2)

(2) Другим источником ошибки является квантование входных данных.

Предположим, что на вход фильтра подается синусоидальный сигнал имеющий значения, представленные в таблице. Там же даны числа, которые можно было занести в регистры длиной 8 бит.

Таб. 1

Sn	Sn (двоичное)	Sn (десятичное)
0.2955	0.0100101	0.2890625
0.5564	0.1000111	0.5546875
0.8912	0.1110100	0.890625
0.9320	0.1110111	0.9265
...	...	...

Очевидно, что указанные значения отличаются от действительных выборок синусоидального сигнала.

(3) Третий вид ошибок возникает вследствие ограниченной точности, с которой выполняются арифметические операции. Рассмотрим член " -0.78125*y_n-2 " дискретного разностного уравнения с ограниченной разрядностью представления коэффициентов. Это есть произведение 6-битового числа на 8-битовое число. Результат должен иметь 14 значащих бит, однако числа должны быть усечены до 8 бит, с тем чтобы результат помещался в 8 битовый регистр данных. Возникающая при этом ошибка известна как ошибка округления. Кроме того, вычисляемые входные выборки, в соответствии с расчетным уравнением, используются для вычисления последующих выходных выборок и это приводит к накоплению ошибок.

Таким образом, для цифрового фильтра, описываемого разностным уравнением, существует три основных источника ошибок вследствие конечной длины слова:

1) Квантование значений входной последовательности выборок по уровню.

2) Изменение коэффициентов фильтра {a_k} и {b_k} в следствии конечного числа бит для их представления.

3) Накопление ошибок округления возникающих при арифметических операциях.

Дата добавления: 2015-11-14