Аппроксимация АЧХ и ФЧХ аналоговых фильтров. Краткий обзор на примере НЧ фильтров.

В связи с тем, что проектирование ЦФ часто основывается на том или ином аналоговом прототипе фильтра, кратко рассмотрим возможные методы аппроксимации АЧХ и ФЧХ аналоговых фильтров на примере НЧ фильтров.

Пусть задана передаточная функция К(р) в виде рациональной функции от р, квадрат ее амплитуды для р=jw является функцией от w2. Обозначим ее А(w²).

Тогда

Удобно записать А(w²) в следующей форме:

,

где F(w²) является также рациональной функцией w².

Так как А(w²)³0, необходимо, чтобы F(w²)³-1.

Для получения К(р) из А(w²) заменили w2на -р², а для определения полюсов и нулей в р-плоскости разложим числитель и знаменатель А(-р²) на множители.

Искомые нули и полюса должны быть симметричными относительно как действительной, так и мнимой осей,

Для того чтобы получить минимальную фазовую характеристику (т.е. обеспечивающую однозначное соответствие между АЧХ и ФЧХ преобразования Гильберта) К(р) не должен иметь нулей и полюсов в правой полуплоскости комплексного переменного p=s+jw.

Например, предположим, что

при 10²=-р²получим

,

где

Карта полюсов и нулей функций А(-р2) и К(р) показана на рисунках 2.1:

Рис.2.1. Карта нулей и полюсов функций А(-р²) и К(р).

Для того чтобы К(р) соответствовала фильтру НЧ с частотой среза нормированной к w=1 рад.сек, его А(w²) должна быть близкой к 1 в полосе пропускания, т.е. при 0£½w½£1, и равной нулю в полосе затухания, например при ½w½>Ws.

Из анализа А(w²) как функции от F(w²) видно, что рациональная функция F(w²) должна быть близкой к нулю при 0£w£1 и должна принимать большие значения при w²>Ws².

Обычно на практике используют три класса фильтров НЧ, каждый из которых характеризуется различными свойствами функций F(w²). К ним относятся:

* фильтры Баттерворта;

* фильтры Чебышева;

* эллиптические фильтры;

Рассмотрим фильтры Баттерворта.

Для этого класса фильтров F(w²) является полиномом n-ой степени от w², в частности F=w²ⁿ, а

Видно, что F(w2) принимает малые значения для малых w и большие для больших w, и т.о. соответствует низкочастотной характеристике.

График АЧХ показан на рисунке 2.2:

Рис.2.2. АЧХ Фильтров Баттерворта порядка n.

Если w=1, то А(w²)=0.5. Поэтому при w=1 затухание равно 3 дб.

Функция А(w²) монотонно убывает. Она имеет максимальное число производных, равных нулю в начале координат. По этой причине фильтры Баттерворта имеют максимально плоскую АЧХ. На границе полосы затухания:

Это уравнение используется для определения порядка фильтра из условия удовлетворения требуемому ослаблению в полосе затухания при ½w½>Ws.

Для того, чтобы получить К(р), заменим w²на -р²и выделим знаменатель в уравнении

Полюсы определяются решением уравнения ,

т.е. равны

Существует 2n корней (-1)ⁿ⁺¹, равномерно расположенных на единичной окружности.

В целом где В_n(р) - полином степени n.

В таблице приведены функции В_n(р) для 1£n£5.

Таблица.2.1

n	Bn(p)
1.	p+1
2.	p2+1.4142×p+1
3.	(p+1)×(p2+p+1)
4.	(p2+0.7654×p+1)×(p2+1.8478×p+1)
5.	(p+1)×(p2+0.6180×p+1)×(p2+1.6180×p+1)

Фильтры Чебышева описываются функцией F(w²) также являющейся полиномом от w²степени n.

В частности, где Сn(w) - полином Чебышева n степени.

Подробно эти фильтры рассмотрены в рекомендованной литературе.

Фильтры Чебышева имеют равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания (или в полосе затухания).

Их полосы расположены на эллипсе в р-плоскости.

Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра) имеют равновеликие пульсации амплитудной характеристики как в полосе пропускания, так и в полосе затухания. Для определения передаточной функции используются функции Якоби. Для этих фильтров F(w²) является рациональной функцией. Вид А(w²) дан на рисунке (для НЧ фильтра).

Дата добавления: 2015-11-14