Машинное проектирование БИХ фильтров

Рассмотренный нами в предыдущих лекциях метод частичного преобразования при проектировании цифровых фильтров применим в большинстве практических случаев. Однако, его нельзя использовать в тех случаях, когда требуемая частотная характеристика имеет более одной полосы пропускания или более одной полосы затухания. В таких случаях используют другие методы.

Рассмотрим один из возможных методов проектирования БИХ цифровых фильтров для произвольно заданной амплитудно-частотной характеристики. Этот метод предложен Стейглицем, а его программная реализация приведена в книге А.Пеледа, Б.Лиу “Цифровая обработка сигналов”, Киев, “Виша школа”, 1979г.

Пусть l:, 1£ i £ N — множество цифровых частот в диапазоне [0,p], а A_I — требуемое значение амплитудно-частотной характеристики на частотах l_I. Для последующего рассмотрения воспользуемся записью передаточной функции в??? (каскадной) форме:

,

где действительные константы c, c_k, d_k, f_k, g_k, 1£ k£ k определяются так, чтобы амплитуда результирующей K(z) на частоте с максимально возможной точностью совпадала бы с требуемым значением A_i. Для этого используется минимум среднего квадрата ошибки Q, выбранной в качестве целевой функции.

Обозначим общим символом Q неизвестные 4K константы (c₁, d₁, f₁, g₁, …, c_k, d_k, f_k, g_k). Тогда ошибка Q является функцией от Q и некоторой константы c, т.е.

,

где для простоты принято обозначение: .

Для заданного Q оптимальная величина может быть определена из решения уравнения:

. При этом нетрудно показать, что

.

Определение оптимальных значений Q, обозначенных как , может быть затруднено из‑за нелинейной зависимости Q от Q.

В этом случае целесообразно использовать методы оптимизации с численной аппроксимацией, например, метод Флетчера-Пауэла. Это итеративный поисковый метод оптимизации, для которого имеются программные реализации. При применении этого метода необходимо определить частные производные целевой функции Q(Q,C) по каждой из 4К компонент Q. Дифференцируя целевую функцию, имеем:

,

где Q_i - i-я компонента Q, соответствующая либо C_k,, либо d_k, либо f_k, либо g_k.

Частные производные оцениваются непосредственно программой, которая по алгоритму Флетчера-Пауэла ищет минимальную из заданных начальных величин Q. Процедура поиска заканчивается, когда величины Q для двух последовательных итераций находятся в заданных пределах, например, или .

В результате указанной процедуры находим рациональную передаточную функцию, наиболее полно удовлетворяющую заданным требованиям и критерию СКО. Однако, часто оказывается, что машинное решение имеет полюсы и нули, которые лежат вне единичной окружности, так как на их расположения не были наложены предварительные ограничения. В этом случае, неустойчивые полюса должны быть перераспределены. Нули, которые лежат вне единичной окружности могут быть также перераспределены при определенных требованиях к проектируемому фильтру.

Пусть p₁ полюс, лежащий вне единичной окружности, тогда перераспределение полюсов осуществляется умножением передаточной функции на коэффициент (z-p_i)/(z-1/p₁), который для |z|=1 имеет постоянную величину p₁. Таким образом, эти поправки для неустойчивых действительных полюсов не изменяют формы АЧХ. Кроме того, так как коэффициент усиления c выбран оптимально в соответствии с указанными уравнениями, то перераспределение этого неустойчивого полюса не оказывает влияния на передаточную функцию.

Аналогично, неустойчивые комплексные полюса можно заменить их обратными величинами. Таким же образом заменяются нули, лежащие вне единичной окружности.

Далее, если снова использовать программу оптимизации после этих инверсий полюсов и нулей, выбрав в качестве начальных значений полученные ранее величины и Q, можно получить дальнейшее улучшение результатов проектирования.

Таким образом, основные шаги машинного проектирования БИХ фильтров включают:

1. Определение оптимальных параметров и с помощью алгоритма Флетчера-Пауэла без учета расположения полюсов и нулей.

2. Инвертирование после достижения сходимости на шаге 1 всех полюсов и нулей вне единичной окружности.

3. Повторное использование алгоритма Флетчера-Пауэла при выборе полученных величин Q и c в качестве координат начальной точки и нахождение оптимальных значений и , определяющих требуемую передаточную функцию цифрового фильтра.

Дата добавления: 2015-11-14