Проектирование полосовых и режекторных БИХ фильтров.

Типичная АЧХ полосового цифрового фильтра показана на рисунке 3.5.

Рис. 3.5.

Параметры АЧХ полосового фильтра.

Полоса пропускания лежит в пределах от до , а полоса затухания соответствует диапазонам и . Можно найти такое преобразование частот и , которое позволяет по аналоговому прототипу фильтра нижних частот построить полосовой цифровой фильтр. Одним из таких преобразований является

,

где ,

= .

Это преобразование практически изображено на рисунке, где показана вся ось частот < < и только положительная часть оси . Из рисунка видно, что полоса пропускания -1 1 аналогового фильтра нижних частот отображается в полосу пропускания требуемого цифрового фильтра . Границы полос затухания и преобразуются соответственно в и . Поэтому, для того, чтобы полоса затухания цифрового фильтра преобразовалась в ПЗ аналогового фильтра, необходимо, чтобы выполнялись оба условия:

,

.

Искомым преобразованием между p и z плоскостям, соответствующим рассматриваемому частному преобразованию, является

.

Ясно, что применяя это преобразование к аналоговому фильтру N-го порядка, получим цифровой фильтр, порядок которого равен 2N.

Рис. 3.6.

Режекторные фильтры с АЧХ, приведенной на рисунке 3.7,

Рис. 3.7. АЧХ режекторного фильтра

можно получить, используя частотное преобразование вида

применительно к аналоговому НЧ фильтру с

,

.

Одно из частотных преобразований, переводящих аналоговый фильтр нижних частот в полосовой фильтр, имеет вид:

,

где , .

Параметры и найдены решением системы уравнений

при ,

при .

Кроме того, для того, чтобы полоса затухания цифрового фильтра преобразовалась в полосу затухания аналогового фильтра при > , должны удовлетворяться следующие условия:

,

.

Искомое преобразование p в z задается в виде:

.

Пример 3.1.

Спроектировать ЦФ НЧ, предназначенный для обработки непрерывного сигнала со следующими параметрами:

1) частота выборки F_S =8кГц;

2) полоса пропускания f_c от 0 до 1.3 кГц;

в полосе пропускания ЦФ должен иметь максимально плоскую характеристику с полосой пропускания на частоте ;

3) полоса затухания f_c свыше 2.6 кГц;

минимальное ослабление в полосе затухания = 33.5 дБ.

Для соответствующих цифровых частот получаем:

Первым шагом является выбор аналогового ФНЧ, который после применения к нему билинейного преобразования, даст цифровой фильтр, удовлетворяющий заданным параметрам. Так как , то =1.785.

Граница полосы затухания преобразуется в =1.6319/0.56=2.91.

Таким образом, необходим аналоговый фильтр с максимально плоской характеристикой в полосе пропускания и минимальным ослаблением в полосе затухания < D.

Для нашего примера подходит фильтр Баттерворта, обладающий максимально плоской характеристикой. Вначале определим порядок аналогового фильтра Баттерворта, характеристики которого удовлетворяют требуемому ослаблению в полосе затухания, т.е. определим наименьшее целое n, которое удовлетворяет условию

или

.

Легко проверить, что искомое равно 4.

Таким образом, требуется фильтр четвертого порядка. Его передаточная функция, согласно приведенной в лекциях таблице, равна

.

Используя билинейное преобразование , получим передаточную функцию цифрового фильтра:

.

АЧХ этого фильтра приведена на рисунке 3.8.

Рис. 3.8.

Пример 3.2.

Спроектировать ЦФ НЧ, предназначенный для обработки непрерывного сигнала со следующими параметрами:

1) частота выборки F_s =8 кГц;

2) полоса пропускания f_c от 0 до 1.3 кГц;

максимальные пульсации в полосе пропускания =0.1 дБ;

3) полоса затухания f_s свыше 2.6 кГц;

минимальное ослабление в полосе затухания =33.5 дБ.

Аналогично примеру 1 имеем цифровые частоты

,

.

Параметр “с” билинейного преобразования , как и в предыдущем примере.

Граница полосы затухания преобразуется в .

Т.о. необходим аналоговый фильтр с максимальными пульсациями 0.1 дБ в полосе пропускания и минимальным ослаблением 33.5 дБ. в полосе затухания .

Фильтр, который удовлетворяет этим параметрам, можно построить по методикам, описанным во многих книгах по проектированию аналоговых фильтров.

Выберем для нашего примера эллиптический фильтр 3-го порядка с передаточной функцией

,

который удовлетворяет заданным выше условиям.

Далее, используя билинейное преобразование, находим передаточную функцию цифрового фильтра:

.

АЧХ этого фильтра показана на рисунке 3.9.

Рис. 3.9.

Пример 3.3.

Постановка задачи:

Спроектировать цифровой фильтр ВЧ со следующими параметрами:

1. Частота дискретизации (F_S): 15 кГц;

2. Полоса пропускания (f_C): от 4,5 до 7,5 кГц;

Максимальные пульсации в полосе пропускания: 0,1 дБ;

3. Полоса затухания (f_S): от 0 до 3,4 кГц;

Максимальное ослабление в полосе затухания: 30 дБ.

В терминах цифровых частот получим:

L_C=2pfc/F_S=1.8850

L_S=2pf_S/F_S=1.4242

При с^/=tg(L_C/2)=1,3764 граница полосы затухания L_S преобразуется в аналоговую частоту W_S=tg(L_C/2)/tg(L_C/2)=1,5946.

Можно показать, что этим требованиям удовлетворяет эллиптический фильтр четвертого порядка с передаточной функцией

.

Используя билинейное преобразование вида

,

получаем путем подстановки передаточную функцию цифрового фильтра

Его амплитудно-частотная характеристика приведена на рисунке 3.10.

Пример 3.4.

Постановка задачи:

Спроектировать полосовой цифровой фильтр со следующими параметрами:

1. Полоса пропускания

L^/_C = 1,0; L^//_C = 1,0;

плоская полоса пропускания на уровне 3дб в пределах L^/_C и L^//_C.

2. Полоса затухания

L^/_S = 0,5; L^//_S = 2,5.

Минимальные ослабления в полосах затухания: 25 дб.

Эти параметры заданы непосредственно в значениях цифровых частот. В случае, когда параметры первоначально задаются в аналоговых частотах вместе с частотой дискретизации F_д, первым шагом будет перевод их в цифровые частоты, как это было показано в предыдущих примерах.

Решение задачи:

По формулам

вычислим a и b при L^/_С = 1.0 и L^//_С = 2.0.

В результате получим:

a = 1.8306; b = 0.08059

Условия преобразования полос затухания

a (b-cosL^/_S)/sinL^/_S £ -W_S; a (b-cosL^//_S)/sinL^//_S ³ W_S

принимают вид:

1.8306(0.0859-0.8776)/0.4794 £ -W_S

или W_S £ 3.0431

и

1.8306(0.08059+0.8012)/0.5985 ³ W_S

или W_S £ 2.6971.

Примем W_S £ 2.6971.

Затем выберем аналоговый фильтр НЧ Баттерворта, который имеет ослабление 25 дб в полосе затухания, и порядок n, определяемый из условия

Минимальное значение, удовлетворяющее этому неравенству для W_S£2.6971, равно 3. Поэтому аналоговый фильтр НЧ имеет передаточную функцию

,

а цифровая передаточная функция равна

АЧХ этого фильтра приведена на рис. 3.11.

Рис. 3.11. АЧХ полосового цифрового фильтра.

Видно, что ослабление принимает значение ниже -25 дб еще до достижения заданной по техническим условиям частоты среза L^/_S=0.5.

Дата добавления: 2015-11-14