Использование Z-преобразования для анализа цифровых фильтров

Как известно, для заданной последовательности { } ее Z преобразование определяется выражением:

, (*)

где z является комплексной переменной и играет роль, подобную переменной p в преобразовании Лапласа.

Связь между ними определяется соотношением

Ряд в правой части соотношения (*) сходится, когда Z принимает значение в определенной области комплексной плоскости.

Обратное Z преобразование определяется соотношением

Z-преобразование типовых последовательностей дано в таблице 1.1

Таблица 1.1

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того, для анализа цифровых фильтров необходимо напомнить следующие свойства Z преобразования.

1. Задержка в области оригинала

начальные условия

При нулевых начальных условиях

2. Теорема о конечном значении дискретной функции

3. Теорема о дискретной свертке

Пусть

,

тогда

Использование указанных теорем позволяет найти Z преобразование сигнала на выходе цифрового фильтра через его передаточную функцию в Z плоскости и Z преобразование входного сигнала, т.о.

,

где S(z) - изображение входного сигнала; К(z) - передаточная функция цифрового фильтра.

Пусть

Выполнив Z преобразование этого выражения с использованием указанных теорем, найдем передаточную функцию цифрового фильтра.

Для нахождения частотной характеристики необходимо определить модуль и Z заменить на .

Для нахождения обратного Z преобразования от функции F(z) могут использоваться:

a) разложение в ряд относительно

;

б) делением полинома числителя на полином знаменателя для дробнорациональной функции F(z);

в) разложением на простые дроби, обратные Z преобразования от которых легко определяются из справочных таблиц.

Дата добавления: 2015-11-14