Методы формирования функций принадлежности нечётких множеств

Проблема формирования ФП НМ

Проблема формирования ФП нечёткого множества является одной из важнейших проблем в задачах построения нечётких моделей. В зависимости от приложения различают два направления формирования ФП.

1. Субъективное формирование функций принадлежности нечётких понятий человеком-экспертом или их группой.

2. Автоматическое формирование функций принадлежности без участия (или с минимальным участием) человека-эксперта.

Первый подход используется, как правило, в задачах построения человеко-машинных систем, в которых эксперт играет одну из главных ролей. Это задачи конструирования нечётких экспертных систем, систем принятия решений и других систем, обрабатывающих информацию, представленную на языке, близком к естественному. Основная особенность таких систем состоит в том, что нечёткие множества, формализуемые человеком, обязательно имеют лингвистическую интерпретацию в виде некоторого понятия или выражения естественного языка, то есть данные системы работают с нечёткими и лингвистическими переменными. Лингвистическая интерпретация является основной связкой между человеком, формализующим некоторое понятие, и данной формализацией.

При использовании второго подхода, функции принадлежности, как правило, формируются системой без участия эксперта в автоматическом режиме на основе некоторого критерия оптимальности. Наличие этого критерия является основной характерной особенностью данного подхода. Выбор критерия и метода формирования функции принадлежности определяется конкретной постановкой задачи.

Рассмотрим основные методы, используемые в первом и втором подходе формирования функций принадлежности.

Субъективное формирование ФП человеком-экспертом

Методы субъективного построения ФП делятся на 4 группы.

1. Прямые методы для одного эксперта, основанные на непосредственной оценке значений ФП одним экспертом или на непосредственном указании им правил порождения данной функции.

2. Прямые методы для нескольких экспертов, основанные на непосредственной оценке значений ФП несколькими экспертами или на непосредственном указании ими правил порождения данной функции.

3. Косвенные методы для одного эксперта, основанные на проведении всевозможных парных сравнений объектов x_i Î X, , одним экспертом.

4. Косвенные методы для нескольких экспертов, основанные на проведении всевозможных парных сравнений объектов x_i Î X, , несколькими экспертами.

Классификация и примеры методов субъективного формирования ФП:

Прямые методы характеризуются простотой получения ФП. Они являются наиболее предпочтительными при задании нёчетких множеств, определяющих объекты, имеющих элементарные свойства, признаки, такие как высота, скорость и т.д.

При использовании прямых методов требования, предъявляемые к эксперту, не являются слишком жёсткими. Малая ошибка в определении границ ядра, носителя нечёткого множества или в установлении не является критической.

Оценка экспертом степени принадлежности элемента к нечёткому множеству не обязательно должна осуществляться указанием числового значения Î[0;1]. Эта оценка может быть сделана на некоторой порядковой шкале.

Недостатки прямых методов формирования ФП НМ.

1. В отдельных случаях эксперту трудно указать явное значение . В основном данная ситуация имеет место при отнесении объектов к нечётким множествам, формализующим понятия качественного характера (красивый, изящный и т.д.), то есть не обладающими элементарными измеримыми свойствами, признаками, определяющими формализуемое понятие.

2. Значительную сложность представляет проверка достоверности полученной ФП, её непротиворечивости. Для этого используются методы обратного оценивания, характеризующиеся большой субъективностью.

3. У человека иногда наблюдается тенденция сдвигать свои оценки в направлении концов оценочной шкалы, поэтому прямое назначение экспертом значений функции должно использоваться только тогда, когда эти ошибки незначительны и маловероятны.

Косвенные методы получения ФП менее требовательны к ошибкам экспертов. Они основаны на проведении парных сравнений объектов x_i Î X и используются для получения ФП нечётких множеств, задающих объекты, не обладающие универсальными измерительными свойствами (красота, изящность и т.д.). Эти методы не требуют прямого задания экспертом степеней принадлежности элементов x_i Î X нечёткому множеству , а получают данные степени косвенным путём по результатам экспертных сравнений элементов x_i.

В косвенных методах формулы проверки непротиворечивости обычно носят достаточно прозрачный характер. Эти методы характеризуются своей устойчивостью к возможным ошибкам экспертов, которые возникают в процессе опроса.

Недостатком косвенных методов является неявное задание функции принадлежности, как в прямых методах.

Прямые методы для одного эксперта. В данных методах эксперту необходимо непосредственно назначить степени принадлежности элементам формализуемого нечёткого множества x_i® ," x_i Î X. Использование графических средств (мышь, световое перо и пр.) может облегчить сбор информации о данных степенях, позволяя избежать явного употребления числовых значений принадлежности.

В случае непрерывности множества X можно использовать параметризированные представления ФП в виде , где t – вектор параметров. В данном случае эксперту необходимо указать подходящие значения вектора t.

Ягером Р.Р. предложен метод определения ФП нечёткого множества , основанный на использовании понятия множества a. - уровня.

Данные методы получили широкое распространение в условиях жёстко заданной формы ФП НМ (треугольной или трапециидальной). В этом случае, данные методы обладают наибольшей интерпретируемостью для человека-эксперта.

Прямые методы для нескольких экспертов. Данные методы используются для непосредственного задания ФП при опросе группы экспертов. Методы данной группы менее чувствительны к ошибкам отдельного эксперта по сравнению с выше описанными методами в силу того, что ошибки в ответах одного эксперта компенсируются ответами других экспертов опрашиваемой группы.

Наиболее известные методы данной группы.

Метод на основе использования формулы Байеса. Пусть (À,T(À),X,G,M) – лингвистическая переменная, заданная на множестве X, элементами терм-множества T (À) которой являются m нечётких переменных (A_j,X, ), . Для получения согласно данному методу в точке x_i Î X, , степень принадлежности:

=

Значения и определяются путём опроса группы экспертов, в результате которого каждый эксперт ставит в соответствие каждому элементу x_i Î X некоторое нечёткое множество , к которому, по его мнению, принадлежит x_i. Тогда , где – число случаев, в которых элемент x_i был отнесён экспертами к НМ ; , где N – общее число раз, когда некий элемент из X в процессе опроса всей группы экспертов был отнесен к .

Метод Борисова и Осиса. Значение есть вероятность того, что человек отнесёт элемент x Î X к нечёткому множеству .

Метод Алексеева. При опросе экспертной группы каждый эксперт голосует за принадлежность или непринадлежность элемента x_i Î X к НМ . После этого значения определяются по формуле = , где n – общее число экспертов; n_i – число экспертов, проголосовавших за отнесение элемента x_i к НМ .

Косвенные методы для одного эксперта. В данных методах эксперт не определяет напрямую значения , , а производит всевозможные парные сравнения элементов по некоторой шкале оценок. При сравнении x_i с x_j он определяет предпочтительность принадлежности того или иного элемента к НМ .

Обозначим результат сравнения элементов x_i и x_j, i¹j, через a_ij, i, j= . Этот результат должен являться оценкой предпочтительности x_i над x_j при определении НМ . Матрицу парных сравнений объектов обозначим через A= (a_ij).

При формировании оценок a_ij эксперта обычно просят отразить свои ощущения или опыт следующим образом.

1) Установить, какой из двух предлагаемых элементов более важен по его мнению. Можно принять, например, что a_{i j}=1, если x_i предпочтительнее x_j; a_ij= -1, если x_i менее предпочтителен, чем x_j; и a_ij= 0, если x_i и x_j в одинаковой предпочтительности характеризуются нечётким множеством . Требование непротиворечивости в этом случае состоит в удовлетворении оценок условию a_ij+a_ji= 0 ,"i,j= . При нарушении данного условия оценки превосходства уточняются с помощью эксперта.

2) Оценить своё восприятие степени различия принадлежности элементов x_i и x_j к X в виде ранга важности по определенной шкале. Саати предлагает для сравнения объектов использовать следующую ранговую шкалу.

Степень важности	Качественная оценка	Объяснения
	Несравнимость	Нет смысла сравнивать элементы
	Одинаковая значимость	Элементы равны по значимости
	Слабо значимее	Существуют показания о предпочтении одного элемента другому, но показания неубедительные
	Существенно или сильно значимее	Существуют хорошие доказательства и логические критерии, которые могут показать, что элемент более важен
	Очевидно значимее	Существует очевидное доказательство большой значимости одного элемента перед другим
	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другому
2,4,6,8	Промежуточные оценки между соседними

При таких оценках требование непротиворечивости имеет вид: .

Саати предлагает на основе матрицы парных сравнений A формировать ФП . Пусть элементы a_ij матрицы A показывают, во сколько раз, по мнению эксперта, превосходит .

Пусть универсальное множество X конечно и = .

Тогда значения w_i, , по методу Саати определяются на основе решения задачи о нахождении собственного вектора w= (w₁,...,w_n) матрицы A, то есть задачи Aw^T= v_max w, где v_max – максимальное собственное число матрицы A.

Косвенные методы для нескольких экспертов. В данных методах ФП НМ формируется на основе опроса не одного эксперта, а их группы. В этом случае более адекватна реальной в силу компенсации возможных ошибок при сравнении элементов универсального множества X одним экспертом.

Метод интервальных оценок позволяет построить ФП на основе интервальных оценок [ x_ji, x_ji’ ], характеризующих признаки понятия, определяемого нечётким множеством . Здесь i – номер эксперта (, m> 1), j – номер оцениваемого им признака.

Метод Жуковина, Оганесяна, Бурштейна, Корелова. Пусть N – число экспертов. В результате их опроса формируются N матриц парных сравнений элементов x_i и x_j Î X, , , Î{0,1}. Значение – число голосов экспертов за превосходство x_i над x_j. Пусть . Тогда, , , , .

Автоматическое формирование ФП

Рассмотрим наиболее известные автоматические методы формирования ФП.

1. Задание на основе некоторых соображений ФП в параметрическом виде, выбор начального значения параметров ФП и её настройка (тюнинг модели). Настройка может производиться либо эмпирически, либо по определённым параметрам с привлечением методов оптимизации. В последнем случае достигают минимизации ошибки аппроксимации нечёткой моделью экспериментальных данных. В качестве оптимизации может быть использован, например, метод градиентного спуска.

2. При автоматическом формировании ФП, настройке нечётких моделей могут быть эффективно использованы нейронные сети. Достаточно часто, в данном случае, для упрощения используют треугольную форму функции принадлежности.

Проблема выделения значений лингвистической переменной

Проблема выделения значений ЛП состоит в необходимости выбора их количества в соответствии с некоторым критерием оптимальности так, чтобы на основе этой информации можно было получить экспертным путём либо путём автоматического обучения ФП данных значений лингвистических переменных.

Введение слишком большого числа значений ЛП приведёт к затруднению человеком выбора одного из них в некоторой ситуации. С другой стороны, необоснованное уменьшение количества значений ЛП приведёт к недостаточности информации для человека при описании заданной ситуации. Оптимальность подразумевает выбор не слишком малого и не слишком большого количества значений ЛП.

Достаточно часто эту проблему решают эксперты. Из чисто психологических соображений советуют выбирать нечётное число: 3, 5, 7 или 9 значений ЛП.

При автоматическом определении числа значений лингвистической переменной часто используют методы кластерного и нечёткого кластерного анализа данных.

Проблема выбора наилучшей формы для ФП нечёткого множества

Проблема выбора наилучшей формы для ФП представляет собой одну из важнейших задач в области нечёткого моделирования. Исследованиям в данной области посвящено большое количество публикаций.

Адекватное решение данной проблемы определяется постановкой задачи, которую требуется решать с помощью нечёткой модели. С одной стороны, простейшая форма ФП (треугольная, трапециидальная) обладает более хорошей интерпретацией с точки зрения эксперта и снижает вычислительные затраты. С другой стороны, использование таких форм ФП зачастую снижает точность нечёткой модели. Использование более сложных форм ФП может привести к неоправданному увеличению вычислительной сложности, снизить интерпретируемость модели.

Для адекватного выбора формы ФП необходимо учесть следующие параметры.

1. Требуемая точность модели.

2. Требуемая степень интерпретируемости.

3. Временные и вычислительные ограничения.

Б. Коско провёл анализ различного рода форм ФП и их влияния на скорость работы и точность нечётких моделей. Перечень исследуемых ФП.

Здесь ФП: (а) – Треугольная; (b) – Трапецеидальная; (c) – Гаусса; (d) – Коши;

(e) – Лапласа; (f) – Sinc; (g) – Логистическая; (h) – Гиперболический тангенс.

В результате проведённого исследования было получено, что оптимальной с точки зрения точность/вычислительная сложность является форма ФП вида sinc(x).

Дата добавления: 2015-11-14