Нечёткие числа и операции над ними. Принцип обобщения

Числовой лингвистической переменной называется лингвистическая переменная, определённая на подмножестве числовой оси, и имеющая измеримую базовую переменную. Нечёткие переменные, являющиеся значениями числовой лингвистической переменной, называются нечёткими числами (НЧ).

Таким образом, нечётким числом называют нечёткое подмножество числовой оси, имеющее функцию принадлежности , где R – множество действительных чисел.

В качестве примера числовой лингвистической переменной можно привести лингвистическую переменную ОБЪЁМ. Её значения – МАЛЫЙ, БОЛЬШОЙ, СРЕДНИЙ будут являться нечёткими числами.

Введение понятия нёчеткого числа , а также обобщения математических операций на нечёткий уровень, позволяет перейти от теории нечётких множеств к нечёткой арифметике и нечёткой математике. Привлекательность данных направлений заключается в возможности использования традиционных методов математики для обработки нечётких данных, анализа и управления нечёткими системами и т.д.

Введение понятия нечёткого числа требует обобщения традиционных арифметических числовых операций на нечёткий уровень. Нечёткие арифметические операции вводятся на основе принципа обобщения.

Принцип обобщения

Принцип обобщения как одна из основных идей теории нечётких множеств носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения , имеющего место для чётких множеств, на нечёткий уровень.

Пусть – заданное отображение, а – нечёткое множество, заданное на множестве X. Тогда, образ есть нечёткое множество , заданное на множестве Y, функция принадлежности которого

, где .

Пример работы принципа обобщения:

В данном случае .

Определим на основе принципа обобщения арифметические операции для нечётких чисел.

Случай унарных операций. Пусть =<A, X, > - нечёткое число; g – функция одного аргумента.

Нечёткое число =g() определяется согласно принципу обобщения:

Инъективная функция – это функция, имеющая только один прообраз.

Для нечёткого числа определяются следующие нечёткие числа = g ().

g ()
g () = - (нечёткое число, противоположное по знаку)
g () = l (умножение нечёткого числа на скаляр)	,l¹0
g () = 1/ (нечёткое число, обратное данному)	, x¹0
g () = ^P (степень нечёткого числа)	, P ¹ 0
g () = | | (абсолютная величина нечёткого числа)	| |=( È- ) Ç
g () = (экспонента нечёткого числа)	, x>0

Нечёткое число называется положительным, если inf S()³0, и отрицательным, если sup S()£0. В этом случае пишут ³0, £0 ( >0, <0 - в случае строгих неравенств).

Ниже приведён пример выполнения унарной арифметической операции над нечётким числом (нечёткое логарифмирование). Первый график – нечёткое число , второй – нечёткое число .

Случай бинарных операций. Пусть =<A,X, > и =<B,X, > - нечёткие числа; * - некоторая бинарная операция на X. Нечёткое число = согласно принципу обобщения задается в виде:

Следуя этому правилу, определим базовые операции над нечёткими числами.

Сложение НЧ: .

Разность НЧ: .

Умножение НЧ:

Деление НЧ: .

Пример выполнения операции сложения двух нечётких чисел =25 и =50.

Дата добавления: 2015-11-14